[论文解读] Extremes of $\gamma$-reflected Gaussian process with stationary increments

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2015

Probability and Risk Models被引用 3

一句话总结

本文通过扩展Pickands与Piterbarg不等式，建立了具有平稳增量的γ-反射高斯过程的上尾概率的渐近展开式。推导了风险理论中的 ruin 概率的精确渐近行为以及首次/末次 hitting 时间的近似，表明广义Piterbarg常数控制了含税与无税模型之间的渐近税收等价性，尤其在分数布朗运动和积分高斯过程的情形下。

ABSTRACT

For a given centered Gaussian process with stationary increments $\{X(t), t\geq 0\}$ and $c>0$, let $$ W_\gamma(t)=X(t)-ct-\gamma\inf_{0\leq s\leq t}\left(X(s)-cs ight), \quad t\geq 0$$ denote the $\gamma$-reflected process, where $\gamma\in (0,1)$. This process is introduced in the context of risk theory to model surplus process that include tax payments of loss-carry forward type.In this contribution we derive asymptotic approximations of both the ruin probability and the joint distribution of first and last passage times given that ruin occurs. We apply our findings to the cases with $X$ being the multiplex fractional Brownian motion and the integrated Gaussian processes. As a by-product we derive an extension of Piterbarg inequality \KD{for} threshold-dependent random fields.

研究动机与目标

• 推导当 $ u \to \infty $ 时，尾概率 $ \mathbb{P}(\sup_{0\leq t\leq T} W_\gamma(t) > u) $ 的精确渐近展开式，其中 $ W_\gamma $ 是具有平稳增量的γ-反射高斯过程。
• 研究在大阈值 $ u $ 下首次与末次 hitting 时间的极限行为，特别关注 ruin 时间近似的情境。
• 将经典极值理论结果——特别是 Pickands 与 Piterbarg 不等式——扩展至非自相似设定下出现的阈值依赖高斯随机场。
• 通过广义Piterbarg常数刻画无限时域 ruin 概率 $ \psi_{\gamma,\infty}(u) $ 的渐近行为，建立含税与无税模型之间的精确渐近税收等价性。
• 将结果应用于具体过程，如分数布朗运动与积分高斯过程，揭示基于极限 $ \phi = \lim_{u\to\infty} \sigma^2(u)/u $ 的依赖结构驱动的尾部行为三支性。

提出的方法

• 引入γ-反射过程 $ W_\gamma(t) = X(t) - ct - \gamma \inf_{0\leq s\leq t} (X(s) - ct) $，其中 $ X $ 是具有平稳增量的中心化高斯过程，且 $ \gamma \in (0,1) $，用于建模含税风险过程或流体队列。
• 应用统一的双重求和方法分析由原过程缩放得到的阈值依赖随机场 $ Y_u(s,t) = \frac{X(tu) - \gamma X(su)}{1 + ct - c\gamma s} $ 的上确界。
• 发展 Pickands-Piterbarg引理（引理5.3）的统一版本，并将 Piterbarg 不等式（引理5.1）扩展至阈值依赖高斯场，使得在非自相似条件下仍可进行渐近分析。
• 对变体函数 $ \sigma^2(t) $ 强制满足正则变体条件，假设在零附近 $ \sigma^2(t) \sim t^{2\alpha_0} $，在无穷远处 $ \sigma^2(t) \sim t^{2\alpha_\infty} $，以推导渐近展开式。
• 根据极限 $ \phi = \lim_{u\to\infty} \sigma^2(u)/u \in [0,\infty] $，识别出 $ \psi_{\gamma,\infty}(u) $ 的三种不同渐近模式，分别对应短程相关、布朗运动和长程相关依赖。
• 使用广义Piterbarg常数 $ P_a^Z $，定义为 $ \mathbb{E}\left[\sup_{t\in[0,\infty)} \exp\left(\sqrt{2}Z(t) - (1+a)\mathrm{Var}(Z(t))\right)\right] $，来表达含税与无税 ruin 概率之间的渐近等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 γ-反射高斯过程的上确界渐近行为如何依赖于底层过程 $ X $ 的依赖结构，特别是通过极限 $ \phi = \lim_{u\to\infty} \sigma^2(u)/u $？
• RQ2 无限时域 ruin 概率 $ \psi_{\gamma,\infty}(u) = \mathbb{P}(\sup_{t\geq 0} W_\gamma(t) > u) $ 的精确渐近展开式在 $ u \to \infty $ 时如何表现，其与无税情形下的 ruin 概率有何关系？
• RQ3 当 ruin 事件发生时，首次与末次 hitting 时间 $ \tau_1(u) $ 与 $ \tau_2(u) $ 的渐近分布行为如何？税率 $ \gamma $ 是否影响其极限分布？
• RQ4 经典极值结果如 Pickands-Piterbarg 引理与 Piterbarg 不等式能否扩展至由非自相似过程产生的阈值依赖高斯随机场？
• RQ5 广义Piterbarg常数 $ P_a^Z $ 在控制含税与无税模型之间 ruin 概率的渐近等价性中起什么作用？其在分数布朗运动的赫斯指数 $ H $ 变化时如何变化？

主要发现

• 在 $ \psi_{\gamma,\infty}(u) $ 的渐近行为中，根据 $ \phi = \lim_{u\to\infty} \sigma^2(u)/u $ 的取值，表现出三支性：$ \phi \in (0,\infty) $、$ \phi = 0 $ 和 $ \phi = \infty $ 分别对应布朗运动、短程相关与长程相关过程。
• 对于赫斯指数 $ H \in (0,1) $ 的分数布朗运动，渐近 ruin 概率满足 $ \psi_{\gamma,\infty}(u) \sim P_\gamma^{V_\phi} \psi_{0,\infty}(u) $，其中 $ \gamma := (1-\gamma)/\gamma $，且 $ V_\phi $ 是依赖于 $ \phi $ 的常数，从而建立了渐近税收等价性。
• 广义Piterbarg常数 $ P_a^Z $ 控制了含税与无税 ruin 概率之间的缩放关系，对 $ H = 1/2 $ 与 $ H = 1 $ 给出了显式表达式，并对一般 $ H \in (0,1) $ 提供了界限。
• 在 ruin 条件下，首次与末次 hitting 时间 $ \tau_1(u) $ 与 $ \tau_2(u) $ 的极限分布相同，且与 $ \gamma $ 无关，扩展了 $ \gamma = 0 $ 情形下的已知结果。
• 本文建立了 Pickands-Piterbarg 引理的统一扩展形式，以及 Piterbarg 不等式的阈值依赖版本，这些是通用工具，可推广至其他家族的阈值依赖高斯场。
• 对于有限时域情形 $ \psi_{\gamma,T}(u) $，上确界在 $ t = T $ 附近渐近集中，且协方差函数 $ \sigma_{1,u}(s,t) $ 的最大值在 $ (0,T) $ 的小邻域内取得，其最大值随着 $ u \to \infty $ 趋近于 $ \sigma^2(T) $。