[论文解读] F-index and coindex of some derived graphs

Nilanjan De|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2016

Graph theory and applications参考文献 12被引用 13

一句话总结

本文推导了六类衍生图——线图、细分图、点半总图、边半总图、总图和并线图——的F指数与F余指数的显式公式，基于基图G的图不变量（如Zagreb指标和基于度的求和）。研究建立了这些拓扑指数与原图结构属性之间的闭式表达式，从而在QSAR/QSPR应用中实现预测建模。

ABSTRACT

In this study, the explicit expressions for F-index and coindex of derived graphs such as a line graph, subdivision graph, vertex-semitotal graph, edge-semitotal graph, total graph and paraline graph (line graph of the subdivision graph) are obtained.

研究动机与目标

• 通过计算线图、总图和并线图等关键衍生图的F指数与F余指数，拓展拓扑指数理论。
• 建立衍生图的F指数与F余指数与原图基本图不变量之间显式的代数表达式。
• 通过提供可计算的拓扑描述符，支持定量构效关系（QSAR）与构效-性质关系（QSPR）研究。
• 通过引入F指数与F余指数在衍生图族中的类比表达式，推广先前关于Zagreb指标与余指标的研究结果。
• 基于度序列与基于边的求和，为多种图变换下的F拓扑指数计算提供系统化框架。

提出的方法

• F指数定义为顶点度数立方的和：$ F(G) = \sum_{v \in V(G)} d_G(v)^3 $，F余指数定义为非边上的度数平方和：$ \bar{F}(G) = \sum_{uv \in E(\bar{G})} [d_G(u)^2 + d_G(v)^2] $。
• 研究采用已知图不变量：$ M_1(G) $，$ M_2(G) $，$ \xi_4(G) = \sum d_G(v)^4 $，以及 $ \text{Re}ZG_3(G) = \sum_{uv \in E(G)} d_G(u)d_G(v)[d_G(u)+d_G(v)] $。
• 对每类衍生图，通过分析变换后结构中的顶点度数，利用关联边的度数关系与组合计数方法计算F指数。
• F余指数通过恒等式 $ \bar{F}(H) = (|V(H)|-1)M_1(H) - F(H) $ 推导，其中 $ M_1(H) $ 为衍生图H的一阶Zagreb指数。
• 推导过程依赖于图运算下的度数变换：例如，细分操作插入度数为2的顶点，总图将顶点与边合并。
• 通过在环图 $ C_n $ 与星图 $ S_n $ 上的实例验证结果，确认与推导公式的自洽性。

实验结果

研究问题

• RQ1 线图、细分图、点半总图、边半总图、总图与并线图的F指数是否存在闭式表达式？
• RQ2 衍生图的F余指数如何与原图的拓扑不变量（如 $ M_1(G) $，$ M_2(G) $，$ \xi_4(G) $，$ \text{Re}ZG_3(G) $）相关联？
• RQ3 是否能通过衍生图的一阶Zagreb指数与F指数系统地计算其F余指数？
• RQ4 对于对称基图（如 $ C_n $ 与 $ S_n $），F指数与F余指数的行为如何？公式是否产生一致的数值结果？
• RQ5 基于度的求和（如 $ \xi_4(G) $ 与 $ \text{Re}ZG_3(G) $）在表达复杂衍生图的F指数与F余指数中起什么作用？

主要发现

• 线图 $ L(G) $ 的F指数为 $ F(L) = \xi_4(G) + 3\text{Re}ZG_3(G) - 6F(G) - 12M_2(G) + 12M_1(G) - 8m $，其中 $ m $ 为图 $ G $ 的边数。
• 线图的F余指数为 $ \bar{F}(L) = (m+5)F(G) - 4(m+2)M_1(G) + 2(m+5)M_2(G) - \xi_4(G) - 3\text{Re}ZG_3(G) + 4m(m+1) $。
• 对于细分图 $ S(G) $，其F余指数为 $ \bar{F}(S) = (m+n-1)M_1(G) - F(G) + 4m(m+n-3) $，其中 $ n $ 为图 $ G $ 的顶点数。
• 总图 $ T(G) $ 的F余指数为 $ \bar{F}(T) = (m+n-9)F(G) + 4(m+n-1)M_1(G) + 2(m+n-1)M_2(G) - \xi_4(G) - 3\text{Re}ZG_3(G) $。
• 对于并线图 $ PL(G) $，其F余指数简化为 $ \bar{F}(PL) = (2m-1)F(G) - \xi_4(G) $，显示出对 $ F(G) $ 与 $ \xi_4(G) $ 的直接依赖。
• 在 $ C_n $ 情况下，线图的F余指数为 $ \bar{F}(L(C_n)) = 4n(n-3) $；在 $ S_n $ 情况下，$ \bar{F}(L(S_n)) = 0 $，证实了公式在对称图上的正确性。