[论文解读] Facial Reduction and Partial Polyhedrality

Bruno F. Lourenço, Masakazu Muramatsu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2015

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 29被引用 18

一句话总结

本文提出了FRA-Poly，一种利用锥优化中多面体面的面缩减算法，可显著减少收敛所需的迭代次数。通过将多面体约束单独处理并利用部分多面性，FRA-Poly在双非负锥Dn上实现了最坏情况n次迭代的界——远优于经典面缩减的O(n²)界，同时推广了Gordan-Stiemke定理，并改进了奇异性阶数和弱不可行子空间的界。

ABSTRACT

We present FRA-Poly, a facial reduction algorithm (FRA) for conic linear programs that is sensitive to the presence of polyhedral faces in the cone. The main goals of FRA and FRA-Poly are the same, i.e., finding the minimal face containing the feasible region and detecting infeasibility, but FRA-Poly treats polyhedral constraints separately. This idea enables us to reduce the number of iterations drastically when there are many linear inequality constraints. The worst case number of iterations for FRA-poly is written in the terms of a "distance to polyhedrality" quantity and provides better bounds than FRA under mild conditions. In particular, in the case of the doubly nonnegative cone, FRA-Poly gives a worst case bound of $n$ whereas the classical FRA is $\mathcal{O}(n^2)$. Of possible independent interest, we prove a variant of Gordan-Stiemke's Theorem and a proper separation theorem that takes into account partial polyhedrality. We provide a discussion on the optimal facial reduction strategy and an instance that forces FRAs to perform many steps. We also present a few applications. In particular, we will use FRA-poly to improve the bounds recently obtained by Liu and Pataki on the dimension of certain affine subspaces which appear in weakly infeasible problems.

研究动机与目标

• 通过显式处理多面体面，减少锥线性规划中面缩减的迭代次数。
• 开发一种新的面缩减算法FRA-Poly，通过单独处理多面体约束以改善最坏情况复杂度。
• 为锥规划的奇异性阶数，特别是双非负锥Dn，提供更紧的界。
• 将经典定理（如Gordan-Stiemke定理）推广至考虑部分多面性的情形。
• 改进Liu和Pataki所研究的与弱不可行问题相关的子空间维数的现有界。

提出的方法

• FRA-Poly分为两个阶段：第一阶段执行标准面缩减，直至达到包含多面体块的面；第二阶段一步跳转至最小面。
• 该算法引入了一个新量——'多面性距离' ℓpoly(K)，用于度量从多面体面出发的最长严格递增非空面链的长度。
• 对于乘积锥K = K₁ × ⋯ × Kᵣ，FRA-Poly的终止步数最多为1 + Σᵢ ℓpoly(Kᵢ)，当至少两个Ki不是子空间时，该值严格小于经典FRA。
• 该方法依赖于广义的适当分离定理（定理4）和Gordan-Stiemke定理的变体（定理5），后者考虑了部分多面性。
• 它利用了锥的直积结构，其中若每个Fⱼᵢ为多面体或已与最小面的第j个块匹配，则面Fᵢ = F₁ᵢ × ⋯ × Fᵣᵢ可被缩减至最小面。
• 该算法应用于双非负锥Dn = Sⁿ₊ ∩ Nⁿ，证明其奇异性阶数至多为n，优于经典O(n²)界。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过显式分离处理多面体约束，而非将其与其它锥约束统一处理，能否加速面缩减？
• RQ2 当存在部分多面性时，锥规划的面缩减步骤最坏情况数量是多少？与经典面缩减相比如何？
• RQ3 ‘多面性距离’ ℓpoly(K) 如何量化乘积锥中面缩减的复杂度？
• RQ4 FRA-Poly能否为锥规划的奇异性阶数，特别是双非负锥Dn，提供更紧的界？
• RQ5 FRA-Poly在多大程度上能改进与弱不可行问题相关子空间维数的现有界？

主要发现

• FRA-Poly将双非负锥Dn的面缩减步骤最坏情况数从O(n²)降低至n，相较于经典面缩减有显著改进。
• 对于乘积锥K = K₁ × ⋯ × Kᵣ，FRA-Poly的步数最多为1 + Σᵢ ℓpoly(Kᵢ)，当至少两个Ki不是子空间时，该值严格小于经典FRA。
• 本文证明了针对闭凸锥与多面锥直积的广义Gordan-Stiemke定理，扩展了经典对偶性结果。
• 一旦达到包含多面体块的面，FRA-Poly可在一步内恢复强对偶性，即使该面并非最小面。
• 任何在Dn上定义的锥线性规划的奇异性阶数至多为n，优于经典界n(n+1)/2。
• 该算法改进了与弱不可行问题相关的仿射子空间维数的界，该问题近期由Liu和Pataki研究。