[论文解读] Solving SDP Completely with an Interior Point Oracle

Bruno F. Lourenço, Masakazu Muramatsu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Numerical Methods and Algorithms参考文献 58被引用 11

一句话总结

本文提出一种方法，仅通过调用一个仅能求解强可行原对偶半定规划（SDP）对的预言机，即可完全求解任意半定规划（SDP）。通过首先对原始问题应用双面削去法，再对正则化问题的对偶问题应用双面削去法，确保在两侧均实现强可行性，从而使得预言机能够解决所有病态情况，包括弱不可行性和未达到最优解的情况。关键结果是，任何SDP均可通过O(n)次预言机调用来完全求解。

ABSTRACT

We suppose the existence of an oracle which solves any semidefinite programming (SDP) problem satisfying Slater's condition simultaneously at its primal and dual sides. We note that such an oracle might not be able to directly solve general SDPs even after certain regularization schemes are applied. In this work we fill this gap and show how to use such an oracle to "completely solve" an arbitrary SDP. Completely solving an SDP, includes, for example, distinguishing between weak/strong feasibility/infeasibility and detecting when the optimal value is attained or not. We will employ several tools, including a variant of facial reduction where all auxiliary problems are ensured to satisfy Slater's condition at all sides. Our main technical innovation, however, is an analysis of double facial reduction, which is the process of applying facial reduction twice: first to the original problem and then once more to the dual of the regularized problem obtained during the first run. Although our discussion is focused on semidefinite programming, the majority of the results are proved for general convex cones

研究动机与目标

• 解决现有SDP方法无法处理弱不可行性或未达到最优解等病态情况的局限性。
• 构建一个框架，全面刻画任意SDP的行为，包括可行性、不可行性以及最优值是否可达。
• 证明仅能求解强可行SDP的预言机，可通过一系列正则化问题的序列，用于求解任意SDP实例。
• 将面削去技术推广至双重削去，通过在最小面内工作，确保在原问题和对偶问题两侧均实现强可行性。
• 提供一种理论严谨、时间复杂度为多项式时间的通用方法，仅通过基本内点预言机访问，即可求解一般锥线性规划。

提出的方法

• 对原始SDP应用面削去法，识别并移除冗余约束，确保一侧实现强可行性。
• 构造简化后问题的对偶问题，并再次应用面削去法，确保原问题和对偶问题两侧均实现强可行性。
• 采用一种保证所有辅助问题中均实现强可行性的面削去变体，通过在最小面内工作。
• 采用双重面削去过程：首先对原始问题进行削去，然后对所得正则化问题的对偶问题进行削去。
• 设计一种递归算法，在每个强可行子问题上使用内点预言机，以提取关于原始问题的完整信息。
• 证明该整体过程在一般闭凸锥下具有正确性与多项式时间复杂度，特别适用于SDP。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅能求解强可行SDP的预言机是否可用于完全求解任意SDP，包括检测弱不可行性和最优值是否未达到？
• RQ2 完全求解SDP所需的最少预言机调用次数是多少？该值是否可在问题规模上多项式有界？
• RQ3 如何对正则化问题的原问题和对偶问题两次应用面削去法（即双重面削去法），以确保其在两侧均实现强可行性？
• RQ4 所提出的方法是否可推广至SDP以外的其他凸锥类别？
• RQ5 从预言机调用与削去的序列中，可恢复原始问题的哪些结构性特征？

主要发现

• 任何关于n×n矩阵的半定规划，均可通过最多O(n)次调用仅能求解强可行原对偶SDP对的内点预言机来完全求解。
• 双重面削去法确保了正则化问题的原问题和对偶问题均实现强可行性，从而可可靠地使用预言机。
• 该方法能正确区分强不可行性与弱不可行性，并检测最优值是否可达。
• 该方法可推广至任意闭凸锥，不仅限于半正定锥。
• 该算法在理论上是正确的，且运行时间复杂度为多项式，所有辅助问题均保证满足强可行性。
• 本文确立了面削去法可系统性地应用两次，以解决锥优化中的病态问题，提供了一个完整的解决方案框架。