[论文解读] Families index for manifolds with hyperbolic cusp singularities

Pierre Albin, Frédéric Rochon|ArXiv.org|Jan 14, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文建立了在具有纤维化双曲截角（φ-hc）度量的流形上，狄拉克型算子的族指标定理，通过引入弗雷德霍姆摄动并推广指标公式至族的情形，拓展了Vaillant的工作。证明了指标类的陈特征等于一个包含Â类与η-不变量的拓扑积分，将单个算子的结果推广至族的情形，并通过共形等价关系与纤维化截角度量建立联系。

ABSTRACT

Manifolds with fibered hyperbolic cusp metrics include hyperbolic manifolds with cusps and locally symmetric spaces of Q-rank one. We extend Vaillant's treatment of Dirac-type operators associated to these metrics by weaking the hypotheses on the boundary families through the use of Fredholm perturbations as in the family index theorem of Melrose and Piazza and by treating the index of families of such operators. We also extend the index theorem of Moroianu and Leichtnam-Mazzeo-Piazza to families of perturbed Dirac-type operators associated to fibered cusp metrics (sometimes known as fibered boundary metrics).

研究动机与目标

• 将Vaillant在具有纤维化双曲截角度量的流形上对单个算子的指标定理推广至此类算子的族。
• 通过弗雷德霍姆摄动弱化边界假设，采用Melrose与Piazza的族指标定理框架。
• 建立一个包含η-不变量及核与余核数据的陈特征的φ-hc度量下的族指标公式。
• 将Moroianu与Leichtnam-Mazzeo-Piazza的单个算子指标定理推广至φ-hc度量下摄动狄拉克型算子的族情形。
• 证明在核与余核秩保持恒定的条件下，φ-c（纤维化截角）族指标定理可由φ-hc结果通过共形等价性导出。

提出的方法

• 采用Melrose-Piazza的族指标定理证明的修改版本，以处理φ-hc度量下的情形。
• 对垂直狄拉克算子施加弗雷德霍姆摄动，以确保谱截面的存在并稳定指标构造。
• 构造一个φ-hc Bismut超联络并对其进行缩放，以分析指标丛的曲率与陈特征。
• 利用η-不变量及其摄动版本（η⁺_P）来在指标公式中计入谱不对称性。
• 通过共形等价性将φ-c指标问题约化为φ-hc情形，采用Moroianu的方法并将其推广至族的情形。
• 应用Agranovich-Dynin公式，关联不同谱投影下的η-不变量，从而实现相对指标定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将族指标定理从单个算子推广至具有纤维化双曲截角度量的流形上的狄拉克型算子族？
• RQ2 弗雷德霍姆摄动在稳定指标和构造族的谱截面中起到何种作用？
• RQ3 η-不变量与核和余核的陈特征如何进入φ-hc度量下的族指标公式？
• RQ4 在核与余核维数恒定的假设下，φ-c（纤维化截角）族指标定理能否通过共形等价性由φ-hc结果导出？
• RQ5 指标丛的陈特征与φ-hc指标公式中的拓扑不变量之间的确切关系是什么？

主要发现

• 一族φ-hc狄拉克型算子的指标丛的陈特征由一个拓扑积分给出，其中包含纤维化的Â类与垂直算子的η-不变量。
• 指标公式中包含一个涉及垂直狄拉克算子η-不变量的修正项，其依赖于谱投影的选择。
• 当水平算子的核与余核具有恒定秩时，指标公式简化，并包含一个涉及核丛陈特征的项。
• 相对指标公式在上同调中成立，η-不变量的差异对应于谱投影的弗雷德霍姆对的陈特征。
• 在核与余核维数沿基空间保持恒定的条件下，φ-c族指标定理由φ-hc结果通过共形等价性导出。
• 该公式将Vaillant、Moroianu以及Leichtnam-Mazzeo-Piazza的单个算子指标定理推广至族情形，给出了明确的上同调表达式。