[论文解读] Families of rational curves on holomorphic symplectic varieties and applications to zero-cycles

François Charles, Giovanni Mongardi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 40被引用 18

一句话总结

本文建立了在 $K3^{[n]}$-型全纯辛流形上，一个足够充分的线性系统包含由原类有理曲线扫掠的双有理曲面的必要且充分条件。证明了对于任意固定的 $n$，仅有有限多个极化类型不包含此类双有理曲面，进而推广了Beauville-Voisin关于0-循环的Chow群结构的结果。

ABSTRACT

We study families of rational curves on irreducible holomorphic symplectic varieties. We give a necessary and sufficient condition for a sufficiently ample linear system on a holomorphic symplectic variety of $K3^{[n]}$-type to contain a uniruled divisor covered by rational curves of primitive class. In particular, for any fixed $n$, we show that there are only finitely many polarization types of holomorphic symplectic variety of $K3^{[n]}$-type that do not contain such a uniruled divisor. As an application we provide a generalization of a result due to Beauville-Voisin on the Chow group of 0-cycles on such varieties.

研究动机与目标

• 将Bogomolov-Mumford关于$K3$曲面上有理曲线的结果推广至更高维全息辛流形。
• 确定在$K3^{[n]}$-型流形上，一个足够充分的线性系统何时包含由原类有理曲线扫掠的双有理曲面。
• 将Beauville-Voisin关于$K3$曲面$CH_0(S)$结构的结果推广至更高维全息辛流形。
• 研究在全息辛几何背景下，有理曲线与双有理曲面的存在性及其几何性质。
• 探讨这些构造对这类流形上Chow群与有理等价关系结构的影响。

提出的方法

• 利用Beauville-Bogomolov形式分析$H^2(X,\mathbb{Z})$中关于有理曲线及其对偶类的上同调类。
• 应用Verbitsky的全局Torelli定理与变形理论，研究$K3^{[n]}$-型流形的模空间。
• 采用稳定亏格0曲线及其在拟射影基上的有理曲面化定义双有理曲面。
• 分析同调与代数Chow群之间的相互作用，特别是$CH_0(X)_{hom}$与$S_1CH_0(X)_{hom}$，以建立0-循环与曲线类之间的联系。
• 通过$CH_0(X)$中的交比理论恒等式，建立有理曲线与0-循环之间的几何对应。
• 利用条件$D \cdot R \neq 0$（其中$D$为除子，$R$为有理曲面化曲线）证明$S_1CH_0(X)_{D,hom} \subset D \cdot CH_1(X)_{hom}$，从而实现对规范0-循环的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一个$K3^{[n]}$-型的射影全息辛流形，何时一个足够充分的线性系统包含由原类有理曲线扫掠的双有理曲面？
• RQ2 对于固定的$n$，有多少个$K3^{[n]}$-型流形的极化类型不包含此类双有理曲面？
• RQ3 Beauville-Voisin关于$K3$曲面$CH_0(S)$结构的结果能否推广至更高维全息辛流形？
• RQ4 在2n维全息辛流形中，是否存在一个维数为$n$且自交数非零的有理连通子簇？
• RQ5 能否在几何上实现$CH_0(X)$中度为1的规范0-循环，作为此类流形中某个有理连通子簇上的点？

主要发现

• 对于任意固定的$n$，仅有有限多个$K3^{[n]}$-型流形的极化类型不包含由原类有理曲线扫掠的双有理曲面。
• 为$K3^{[n]}$-型流形上某一线性系统包含此类双有理曲面，建立了必要且充分条件。
• 对于双有理曲面$D$，其$CH_0(D)_{hom}$的像包含于$D \cdot CH_1(X)_{hom}$，在适当条件下蕴含$S_1CH_0(X)_{hom} = D \cdot CH_1(X)_{hom}$。
• 0-循环的Chow群模同调等价满足：对于任意与有理曲面化曲线非平凡相交的充分除子$L$，有$S_1CH_0(X)_{hom} = L \cdot CH_1(X)_{hom}$。
• 若双有理曲面与有理曲面化曲线有非平凡交，则可保证$S_1CH_0(X)_{hom}$类由与除子的交集生成。
• 结果支持Beauville的猜想：在$CH_0(X)$中，度为1的规范0-循环可通过有理曲线与双有理曲面实现几何化。