[论文解读] Families of trianguline representations and finite slope spaces

Eugen Hellmann|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文通过三角化$(\varphi,\Gamma)$-模族重新定义了基尼的有限斜率空间，建立了一个新的几何与表示理论框架，将单位族的特征值簇嵌入为闭子空间。证明了单位族上过收敛$p$-进自守形式所诱导的表示在限制到局部伽罗瓦群时是三角化的，并表明在二维情形下，该有限斜率空间与基尼的原始定义一致。

ABSTRACT

We apply the theory of families of (phi,Gamma)-modules to trianguline families as defined by Chenevier. This yields a new definition of Kisin's finite slope subspace as well as higher dimensional analogues. Especially we show that these finite slope spaces contain eigenvarieties for unitary groups as closed subspaces. This implies that the representations arising from overconvergent p-adic automorphic forms on certain unitary groups are trianguline when restricted to the local Galois group.

研究动机与目标

• 通过族化的三角化$(\varphi,\Gamma)$-模重新定义基尼的有限斜率空间，提供一个全新的几何与表示理论框架。
• 证明单位族的特征值簇可作为闭子空间嵌入于新构造的有限斜率空间中。
• 建立单位族上过收敛$p$-进自守形式所诱导的伽罗瓦表示在限制到$p$-局部伽罗瓦群时为三角化表示。
• 将有限斜率空间的局部几何与贝拉伊奇和谢内维耶关于非临界精化点处特征值簇的猜想联系起来。
• 证明最小有限斜率空间$X(\bar{\rho},x)$普表示[BeCh, 定义7.6.2]中定义的变形函子，从而连接全局与局部变形理论。

提出的方法

• 利用谢内维耶的族化$(\varphi,\Gamma)$-模理论，定义一个新的有限斜率空间$\mathcal{S}^{\rm ns}(\bar{\tau})$，用于参数化具有正则参数的三角化$\mathcal{G}_p$-表示。
• 应用族化伽罗瓦表示在族化$(\varphi,\Gamma)$-模内部的构造，基于凯德莱与刘的工作。
• 将有限斜率空间$X(\bar{\tau})$定义为$\mathcal{S}^{\rm ns}(\bar{\tau})$在$\mathfrak{X}_{\bar{\tau}} \times \mathcal{T}_d^{\rm reg}$中的像的扎里斯基闭包，其中$\mathfrak{X}_{\bar{\tau}}$是普遍变形环的通用纤维。
• 建立有限且单射的态射$\pi_{\bar{\tau}}: \mathcal{S}^{\rm ns}(\bar{\tau}) \to \mathfrak{X}_{\bar{\tau}} \times \mathcal{T}_d^{\rm reg}$，表明新空间捕捉了变形理论数据。
• 通过从局部空间$X(\bar{\tau}_p)$的基变换，引入全局版本的有限斜率空间$X(\bar{\rho})$，并纳入Hecke作用与伽罗瓦共轭。
• 将最小有限斜率空间$X(\bar{\rho},x)$定义为$X^\perp(\bar{\rho})$的闭子空间，其中表示满足对偶性与弗罗贝尼乌斯子群作用条件，与[BeCh]中的变形函子一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过族化三角化$(\varphi,\Gamma)$-模定义的新有限斜率空间在二维情形下是否与基尼的原始定义一致？
• RQ2 单位族的特征值簇是否可作为闭子空间实现于这一新有限斜率空间构造中？
• RQ3 单位族上过收敛$p$-进自守形式所关联的伽罗瓦表示在限制到$p$-局部伽罗瓦群时是否为三角化表示？
• RQ4 最小有限斜率空间$X(\bar{\rho},x)$是否同构于由$\hat{\mathcal{O}}_{X(\bar{\rho},x),x}$普表示的变形空间，如贝拉伊奇与谢内维耶所猜想？
• RQ5 若布洛赫-卡托猜想成立，是否可推出$Y_\pi(\bar{\rho}) \to X(\bar{\rho},z)$是不可约分支的包含映射？

主要发现

• 通过族化三角化$(\varphi,\Gamma)$-模构造的有限斜率空间$X(\bar{\tau})$在二维情形下同构于基尼的原始有限斜率空间。
• $\pi_{\bar{\tau}}: \mathcal{S}^{\rm ns}(\bar{\tau}) \to \mathfrak{X}_{\bar{\tau}} \times \mathcal{T}_d^{\rm reg}$是有限且单射的，但由于表示与伪特征之间的差异，不一定是闭嵌入。
• $X(\bar{\tau})$的连通分支是不可约的，维数为$1 + \frac{d(d+1)}{2}$，与$\mathrm{GL}_d$中Borel子群的旗簇的维数一致。
• 由至少包含一个晶体点的分支构成的子空间$\tilde{X}(\bar{\tau})$是贝拉伊奇与谢内维耶意义上的$\mathcal{G}_p$-表示的普遍精化族。
• 单位族的特征值簇$Y_\pi(\bar{\rho})$作为闭子空间嵌入于最小有限斜率空间$X(\bar{\rho},z)$中，且通过包含映射$Y_\pi(\bar{\rho}) \to X(\bar{\rho},z)$分解。
• 猜想$Y_\pi(\bar{\rho}) \to X(\bar{\rho},z)$是不可约分支的包含映射，等价于贝拉伊奇与谢内维耶关于特征值簇在非临界精化点处局部几何的猜想，且由布洛赫-卡托猜想所蕴含。