[论文解读] Families over curves with a strictly maximal Higgs field

Eckart Viehweg, Kang Zuo|ArXiv.org|Mar 8, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文研究了在 Hodge 结构变化背景下，具有严格极大 Higgs 场的曲线上的 n- folds 家族。证明了当基空间为完备时，奇数 n 的此类家族不可能存在，但通过阿贝尔簇的商和 Borča 的构造方法，为偶数 n 明确构造了例子，表明它们在所有维度下均存在，并且与卡拉比-丘或亏格为零的卡拉比-丘流形模空间中的 Shimura 曲线相关。

ABSTRACT

We study certain rigid Shimura curves in the moduli scheme of polarized minimal n-folds of Kodaira dimension zero. Those are characterized by some numerical condition on the Deligne extension of the corresponding variation of Hodge structures, or equivalently by the strict maximality of the induced Higgs field. We show that such Shimura curves can not be proper, for n odd, and we give some examples, showing that they exist in all dimensions.

研究动机与目标

• 通过 Hodge 理论与单值性群，刻画曲线上的 n- folds 家族中具有严格极大 Higgs 场的性质。
• 将 Arakelov 型不等式与严格极大性的概念推广至更高权的 Hodge 结构变化。
• 研究此类家族的刚性、Mumford-Tate 群结构及几何性质。
• 显式构造此类家族的例子，特别是卡拉比-丘与亏格为零的卡拉比-丘流形。
• 确定此类家族存在的条件，特别是当基曲线为完备或带有标记点时。

提出的方法

• 将 Arakelov 不等式推广至权 k ≥ 0 的 Hodge 结构变化，证明等式成立当且仅当 Higgs 场为严格极大。
• 应用 Simpson 的 Higgs 纤维丛理论，将严格极大 Higgs 纤维丛分解为固定权一 Higgs 纤维丛与单位酉部分的张量积和直和。
• 利用单幂单值性，证明 Higgs 纤维丛结构可定义在 ℚ 上，从而表明其具有模椭圆曲线家族的算术起源。
• 通过阿贝尔簇模椭圆曲线家族的积的商构造例子，使用 Kummer 型构造与 Borča 方法。
• 分析商家族的 n 次上同调的 Hodge 分解，表明当 k 为奇数时 h^{k,0} 为零，当 k 为偶数时非零。
• 应用 Deligne 延拓与对数微分的理论，通过全空间上典范序列的边缘同态定义 Higgs 场。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 n，存在具有严格极大 Higgs 场且亏格为零的曲线上的光滑 n- folds 家族？
• RQ2 当基曲线为完备时，此类家族是否可能存在于奇数 n 的情形？
• RQ3 具有严格极大 Higgs 场的 Hodge 结构变化中，Hodge 纤维丛与 Mumford-Tate 群的结构如何？
• RQ4 是否存在具有严格极大 Higgs 场的卡拉比-丘 n- folds 光滑家族，且 n 为大于 2 的偶数？
• RQ5 此类家族与 Shimura 曲线及阿贝尔簇的模家族有何关联？

主要发现

• 当 n 为奇数时，若基曲线为完备，则不存在具有严格极大 Higgs 场的此类家族，如定理 5.2 所示。
• 当 n 为偶数时，此类家族存在，并通过模椭圆曲线家族的积的商构造，如例 7.5 所示。
• 商家族的 Hodge 纤维丛满足 h^{n,0} = 1，且对所有偶数 k ≤ n 有 h^{k,0} ≠ 0。
• 所构造家族的一般纤维具有亏格为零，且为极小模型。
• 当 n = 3 时，Borča 的构造产生一个欧拉示性数为 96 且 h^{2,1} = 3 的卡拉比-丘三倍体。
• Hodge 结构变化 R^n f_* ℚ_X 同构于 S^3(R^1 h_* ℚ_E) 加上 R^1 h_* ℚ_E 的 2 重直和，反映出 Higgs 纤维丛结构的分解。