[论文解读] Fast Algorithms at Low Temperatures via Markov Chains

Zongchen Chen, Andreas Galanis+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 26被引用 1

一句话总结

本文提出了一种新颖的马尔可夫链算法，用于在有界度数的膨胀图上的低温自旋系统中实现高效采样和近似计数。通过将问题转化为聚合物模型，并在聚合物权重指数衰减的条件下证明快速混合，作者实现了低温铁磁庞茨模型的 O(n log n) 时间采样，显著优于先前的 n^{O(log Δ)} 时间算法。

ABSTRACT

For spin systems, such as the hard-core model on independent sets weighted by fugacity lambda>0, efficient algorithms for the associated approximate counting/sampling problems typically apply in the high-temperature region, corresponding to low fugacity. Recent work of Jenssen, Keevash and Perkins (2019) yields an FPTAS for approximating the partition function (and an efficient sampling algorithm) on bounded-degree (bipartite) expander graphs for the hard-core model at sufficiently high fugacity, and also the ferromagnetic Potts model at sufficiently low temperatures. Their method is based on using the cluster expansion to obtain a complex zero-free region for the partition function of a polymer model, and then approximating this partition function using the polynomial interpolation method of Barvinok. We present a simple discrete-time Markov chain for abstract polymer models, and present an elementary proof of rapid mixing of this new chain under sufficient decay of the polymer weights. Applying these general polymer results to the hard-core and ferromagnetic Potts models on bounded-degree (bipartite) expander graphs yields fast algorithms with running time O(n log n) for the Potts model and O(n^2 log n) for the hard-core model, in contrast to typical running times of n^{O(log Delta)} for algorithms based on Barvinok’s polynomial interpolation method on graphs of maximum degree Delta. In addition, our approach via our polymer model Markov chain is conceptually simpler as it circumvents the zero-free analysis and the generalization to complex parameters. Finally, we combine our results for the hard-core and ferromagnetic Potts models with standard Markov chain comparison tools to obtain polynomial mixing time for the usual spin system Glauber dynamics restricted to even and odd or "red" dominant portions of the respective state spaces.

研究动机与目标

• 开发用于低温自旋系统中近似计数和采样的更快算法，其中传统的马尔可夫链（如格劳伯动力学）已知混合缓慢。
• 通过利用聚合物模型和簇展开技术，克服局部马尔可夫链在低温区域的混合缓慢问题。
• 设计一种在聚合物构型上运行的新马尔可夫链，使其在聚合物权重指数衰减的条件下实现快速混合。
• 在双分图膨胀图上，为自旋系统的硬核模型和庞茨模型在低温区域建立多项式时间采样与计数算法。

提出的方法

• 将原始自旋系统转化为一个抽象的聚合物模型，其中聚合物表示对基态的偏离。
• 在聚合物构型上定义一个马尔可夫链，采用单步更新移动，并利用深度优先搜索（DFS）顺序以确保单步更新兼容性。
• 在聚合物权重随大小指数衰减的条件下，证明该马尔可夫链的快速混合，该条件通过参数 τ 的聚合物采样条件形式化。
• 使用截断的聚合物模型（大小 ≤ M）实现 ε-近似采样与计数，其中 M 的选择使得能捕获除 ε 分数外的所有配分函数权重。
• 应用马尔可夫链比较技术，表明限制在低能量区域的格劳伯动力学同样在多项式时间内混合。
• 采用簇展开和泰勒级数近似，将配分函数表示为聚合物贡献的和，从而实现高效计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在局部动力学已知混合缓慢的低温自旋系统中，能否使马尔可夫链实现快速混合？
• RQ2 聚合物权重需满足何种条件，才能确保在聚合物构型上运行的马尔可夫链实现快速混合？
• RQ3 能否在膨胀图上为低温庞茨模型和硬核模型实现 O(n log n) 时间的采样算法？
• RQ4 如何利用聚合物模型设计低温区域下高效的近似计数与采样算法？
• RQ5 截断大小 M 的最小值是多少，才能使截断后的聚合物模型在 ε 近似范围内捕获配分函数的权重？

主要发现

• 当聚合物权重指数衰减时，所提出的聚合物构型上的马尔可夫链实现快速混合，且在聚合物采样条件成立时，混合时间被限制在 O(n log n) 内。
• 在有界度数的膨胀图上，低温铁磁庞茨模型实现了 O(n log n) 时间的采样算法。
• 对于双分图 α-膨胀图上的硬核模型，当 λ ≥ (6∆)^{3+6/α} 时，ε-近似计数与采样算法的运行时间为 O(n log n)，且截断大小 M = Θ(log(n/ε))。
• 当截断大小 M = 3(2+α) log(4n/ε)/(2α log λ) 时，截断后的聚合物模型捕获了除 ε 分数外的所有配分函数权重。
• 由于基于聚合物的马尔可夫链的快速混合，限制在低能量构型上的格劳伯动力学也以多项式时间混合。
• 结果可推广至硬核模型与庞茨模型，首次在膨胀图的低温区域实现了近乎线性时间的算法。