[论文解读] Fast and Robust Compressive Phase Retrieval with Sparse-Graph Codes

Dong Yin, Kangwook Lee+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2016

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文提出两种鲁棒且快速的算法——近线性与次线性方案——用于使用稀疏图码对稀疏复信号进行噪声压缩相位检索。其计算复杂度为次线性Θ(K log³n)，样本复杂度为最优Θ(K log n)，是首个在压缩相位检索中实现可证明的次线性复杂度和抗噪声鲁棒性的方法。

ABSTRACT

In this paper, we tackle the compressive phase retrieval problem in the presence of noise. The noisy compressive phase retrieval problem is to recover a $K$-sparse complex signal $s \in \mathbb{C}^n$, from a set of $m$ noisy quadratic measurements: $ y_i=| a_i^H s |^2+w_i$, where $a_i^H\in\mathbb{C}^n$ is the $i$th row of the measurement matrix $A\in\mathbb{C}^{m imes n}$, and $w_i$ is the additive noise to the $i$th measurement. We consider the regime where $K=βn^δ$, with constants $β>0$ and $δ\in(0,1)$. We use the architecture of PhaseCode algorithm, and robustify it using two schemes: the almost-linear scheme and the sublinear scheme. We prove that with high probability, the almost-linear scheme recovers $s$ with sample complexity $Θ(K \log(n))$ and computational complexity $Θ(n \log(n))$, and the sublinear scheme recovers $s$ with sample complexity $Θ(K\log^3(n))$ and computational complexity $Θ(K\log^3(n))$. To the best of our knowledge, this is the first scheme that achieves sublinear computational complexity for compressive phase retrieval problem. Finally, we provide simulation results that support our theoretical contributions.

研究动机与目标

• 解决K-稀疏复信号在最小样本与计算复杂度下的噪声压缩相位检索问题。
• 开发PhaseCode算法的鲁棒变体，以处理二次测量中的加性噪声。
• 在信号维度n上实现次线性计算复杂度，这是对先前方法的关键改进。
• 在合理的噪声假设下，确保以高概率恢复信号的全局相位。
• 为几乎线性和次线性方案提供样本复杂度与计算复杂度的理论保证。

提出的方法

• 利用编码理论中的稀疏图码改进PhaseCode框架，以实现快速且鲁棒的信号恢复。
• 设计两种方案：几乎线性方案的计算复杂度为Θ(n log n)，次线性方案的计算复杂度为Θ(K log³n)。
• 采用测量模型y_i = |a_i^H s|² + w_i，其中w_i为次指数噪声，s为C^n中的K-稀疏信号。
• 利用Hanson-Wright不等式，通过随机向量二次型的尾部概率界来保证噪声鲁棒性。
• 假设信号分量为量化形式，具有有限幅值与相位集合，从而实现高效表示与恢复。
• 通过集中不等式及厄米特矩阵与复高斯向量的性质，证明高概率恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在稀疏信号的噪声压缩相位检索中实现n的次线性计算复杂度？
• RQ2 在次指数噪声下，实现鲁棒恢复所需的最小样本复杂度是多少？
• RQ3 如何将稀疏图码适配以在相位检索中实现抗噪声鲁棒性？
• RQ4 能否将PhaseCode框架扩展至具有理论保证的噪声、稀疏、复信号恢复？
• RQ5 所提方案中，样本复杂度与计算复杂度之间的权衡是什么？

主要发现

• 几乎线性方案实现样本复杂度Θ(K log n)与计算复杂度Θ(n log n)，实现快速恢复。
• 次线性方案实现样本复杂度Θ(K log³n)与计算复杂度Θ(K log³n)，标志着该问题首个次线性复杂度算法。
• 两种方案在次指数噪声下均能以高概率恢复K-稀疏复信号的全局相位。
• 理论分析通过集中不等式与二次型的尾部界，证实了鲁棒性。
• 仿真验证了理论发现，展示了在噪声下强大的实际性能。
• 该框架适用于实际场景，其中信号被量化且测量存在噪声。