[论文解读] Fast Approximation Algorithms for Cut-based Problems in Undirected Graphs

Aleksander Mądry|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 31被引用 14

一句话总结

该论文提出了一种新颖的框架，用于在无向图中设计快速近似算法求解基于割的问题，该框架借鉴了Räcke的无偏路由和Spielman-Teng的超稀疏化器思想，通过一种保持割结构的图分解方法实现。通过递归构建j-树，该方法以高概率近似保持割结构，在近乎线性时间内实现了稀疏割和平衡分割问题的多对数近似比。

ABSTRACT

We present a general method of designing fast approximation algorithms for cut-based minimization problems in undirected graphs. In particular, we develop a technique that given any such problem that can be approximated quickly on trees, allows approximating it almost as quickly on general graphs while only losing a poly-logarithmic factor in the approximation guarantee. To illustrate the applicability of our paradigm, we focus our attention on the undirected sparsest cut problem with general demands and the balanced separator problem. By a simple use of our framework, we obtain poly-logarithmic approximation algorithms for these problems that run in time close to linear. The main tool behind our result is an efficient procedure that decomposes general graphs into simpler ones while approximately preserving the cut-flow structure. This decomposition is inspired by the cut-based graph decomposition of Räcke that was developed in the context of oblivious routing schemes, as well as, by the construction of the ultrasparsifiers due to Spielman and Teng that was employed to preconditioning symmetric diagonally-dominant matrices.

研究动机与目标

• 开发一种用于在无向图中快速近似求解基于割的最小化问题的通用方法。
• 将快速基于树的近似算法扩展至一般图，仅带来近似质量上的多对数损失。
• 设计一种保持割结构的图分解方法，以实现对稀疏割和平衡分割问题的高效近似。
• 实现对基本图划分问题的近乎线性时间算法，且近似比为多对数级别。
• 通过一种新颖的分解框架，统一并改进先前的谱方法和基于流的方法，结合二者的优势。

提出的方法

• 该方法使用递归过程 Find Cut-preserving Trees，以构建近似保持输入图割结构的j-树。
• 首先对输入图进行稀疏化，以减少边数，同时保持割容量。
• 该算法应用t′-稀疏分解（来自定理3.6），将稀疏化后的图表示为较简单图（j′-树）的凸组合。
• 从该分解中随机采样一个图H；若H为j-树，则直接返回；否则，递归在H的核上进行，且将t值增加（平方）。
• 递归步骤将核的j-树与原图的包络组合，以构建保持全图割结构的j-树。
• 通过重复调用该框架，确保高概率下的割保持，利用集中不等式提升成功概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般无向图中，基于割的问题能否像在树上一样高效近似，仅带来多对数级别的近似质量损失？
• RQ2 是否可以设计一种图分解方法，在保持割流的同时支持快速近似算法？
• RQ3 能否统一Räcke的基于割的分解框架与Spielman-Teng的超稀疏化器方法，以获得稀疏割和平衡分割问题的更快算法？
• RQ4 当使用树状结构作为代理时，基于割问题的近似比与运行时间之间存在何种权衡？
• RQ5 如何通过递归分解并逐步增加t值，以在减小问题规模的同时保持割结构？

主要发现

• 该算法对割保持实现了(log(1+o(1))T n)-近似，其中T ≤ max{⌈log(logt(n/j) + 1)⌉, 1} 且 T ≤ k（针对所选参数）。
• 运行时间为eO(m + 2k n^{1 + (1-l)/(2k-1)} log U)，当l适切选择时为近乎线性。
• 该框架生成nl个j-树，以概率1 - 1/n²实现(log(1+o(1))k n)-割保持。
• 所得j-树的容量比被限制在n^{(2+o(1))k}U以内，确保多项式级别的膨胀。
• 对于广义稀疏割和平衡分割问题，该方法在近乎线性时间内实现了多对数近似比。
• 该方法通过消除对图导出率的依赖，优于先前的谱方法和基于流的方法，实现了更优的运行时间与近似保证。