[论文解读] Fast Biclustering by Dual Parameterization

Pål Grønås Drange, Felix Reidl+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 2被引用 6

一句话总结

本论文通过引入涉及目标连通分量数（p）和编辑距离（k）的双重参数化，提出了Bicluster Editing及其推广问题的亚指数时间参数化算法。研究发现，当同时考虑这两个参数时，p-Starforest Editing与p-Bicluster Editing等问题可在时间 2^{O(√(pk))} · poly(n) 内求解，相较于标准参数化有显著改进，并证明在ETH下，这种双重参数化对亚指数可解性是必要的。

ABSTRACT

We study two clustering problems, Starforest Editing, the problem of adding and deleting edges to obtain a disjoint union of stars, and the generalization Bicluster Editing. We show that, in addition to being NP-hard, none of the problems can be solved in subexponential time unless the exponential time hypothesis fails. Misra, Panolan, and Saurabh (MFCS 2013) argue that introducing a bound on the number of connected components in the solution should not make the problem easier: In particular, they argue that the subexponential time algorithm for editing to a fixed number of clusters (p-Cluster Editing) by Fomin et al. (J. Comput. Syst. Sci., 80(7) 2014) is an exception rather than the rule. Here, p is a secondary parameter, bounding the number of components in the solution. However, upon bounding the number of stars or bicliques in the solution, we obtain algorithms which run in time $2^{5 \sqrt{pk}} + O(n+m)$ for p-Starforest Editing and $2^{O(p \sqrt{k} \log(pk))} + O(n+m)$ for p-Bicluster Editing. We obtain a similar result for the more general case of t-Partite p-Cluster Editing. This is subexponential in k for fixed number of clusters, since p is then considered a constant. Our results even out the number of multivariate subexponential time algorithms and give reasons to believe that this area warrants further study.

研究动机与目标

• 研究图编辑问题向Bicluster和Starforest结构转化时，是否存在亚指数时间算法。
• 确定在解中连通分量数（p）受限制时，是否能实现亚指数参数化算法。
• 建立下界，证明双重参数化（p和k）对亚指数时间可解性是必要的。
• 将这些结果推广至更一般的t-Partite p-Cluster Editing问题。
• 解决一个开放问题：在无拓扑约束的一般图上，此类问题是否能存在亚指数算法。

提出的方法

• 提出并分析具有双重参数化（p, k）的p-Starforest Editing与p-Bicluster Editing问题，其中p限制连通分量数，k限制边编辑数。
• 设计一种分支算法，利用星森林和完全二分图的结构约束，使p-Starforest Editing的运行时间为 2^{5√(pk)} + O(n+m)。
• 使用核化技术将输入图缩减为大小为 O(p(2k+1) + 2k) 的核，其大小受参数乘积有界。
• 通过从Multicolored Regular Independent Set的归约，证明当仅以p为参数时问题为W[1]-难，表明p不能作为唯一参数使用。
• 建立基于ETH的下界，证明若无双重参数化，亚指数算法将不可能存在。
• 使用构件构造（变量构件与子句构件）将3-SAT归约至Bicluster Editing，证明其在子三次图上仍为NP完全，并确立精确的编辑预算。

实验结果

研究问题

• RQ1 当目标连通分量数（p）受限制时，是否能为Bicluster Editing及相关问题实现亚指数时间算法？
• RQ2 双重参数化（p和k）是否对亚指数时间可解性是必要的？还是仅用k即可实现高效求解？
• RQ3 p-Cluster Editing存在亚指数算法是否可推广至更一般的图类，如t-Partite p-Cluster Editing？
• RQ4 Bicluster Editing是否能拥有大小为O(p + k)的线性核？还是当前的O(p(2k+1) + 2k)核大小已为最优？
• RQ5 在无拓扑约束的一般图上，是否存在自然图问题能实现亚指数参数化时间算法？

主要发现

• p-Starforest Editing可在时间 O(2^{5√(pk)} + n + m) 内求解，当p固定时，其时间复杂度在k上为亚指数。
• p-Bicluster Editing具有运行时间为 2^{O(p√k log(pk))} + O(n + m) 的亚指数时间算法，在p固定时，其时间复杂度在k上为亚指数。
• 该问题即使在子三次图上仍为NP完全，且除非ETH不成立，否则不存在亚指数算法。
• 当仅以p为参数时，p-Cluster Editing为W[1]-难，表明p不能作为唯一参数用于高效算法。
• 双重参数化（p, k）至关重要：若无此参数化，ETH下不存在亚指数时间算法。
• 结果可推广至一般的t-Partite p-Cluster Editing问题，表明在更广泛设定下，双重参数化仍能实现亚指数算法。