[论文解读] Fast Classical and Quantum Algorithms for Online $k$-server Problem on Trees

Ruslan Kapralov, Kamil Khadiev+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 30被引用 7

一句话总结

本文提出了一种针对树上在线 $k$-服务器问题的经典算法，具有 $O(n\log n)$ 的预处理时间与每次请求 $O(k^2 + k\log n)$ 的时间复杂度，显著优于朴素的每次请求 $O(n)$ 的实现。此外，本文还引入了一种量子算法，利用字符串路径的量子预言机访问，实现每次请求 $O(k^2\sqrt{n}\log n)$ 的时间复杂度，当请求次数为 $o(\sqrt{n}/k^2)$ 时，可获得量子加速优势。

ABSTRACT

We consider online algorithms for the $k$-server problem on trees. Chrobak and Larmore proposed a $k$-competitive algorithm for this problem that has the optimal competitive ratio. However, a naive implementation of their algorithm has $O(n)$ time complexity for processing each query, where $n$ is the number of nodes in the tree. We propose a new time-efficient implementation of this algorithm that has $O(n\log n)$ time complexity for preprocessing and $O\left(k^2 + k\cdot \log n ight)$ time for processing a query. We also propose a quantum algorithm for the case where the nodes of the tree are presented using string paths. In this case, no preprocessing is needed, and the time complexity for each query is $O(k^2\sqrt{n}\log n)$. When the number of queries is $o\left(\frac{\sqrt{n}}{k^2\log n} ight)$, we obtain a quantum speed-up on the total runtime compared to our classical algorithm. We also give a simple quantum algorithm to find the first marked element in a collection of $m$ objects, that works even in the presence of two-sided bounded errors on the input oracle. It has worst-case complexity $O(\sqrt{m})$. In the particular case of one-sided errors on the input, it has expected time complexity $O(\sqrt{x})$ where $x$ is the position of the first marked element. Compare with previous work, our algorithm can handle errors in the input oracle.

研究动机与目标

• 为解决 Chrobak-Larmore $k$-竞争性算法在树上 $k$-服务器问题中朴素实现效率低下的问题，该算法每次请求需 $O(n)$ 时间。
• 设计一种时间高效的经典算法，利用最近公共祖先（LCA）与倍增技术，将每次请求的复杂度降低至 $O(k^2 + k\log n)$。
• 当树以字符串路径表示时，开发一种 $k$-服务器问题的量子算法，实现次线性查询复杂度。
• 处理具有有界误差的量子搜索预言机，扩展了以往假设预言机完美无误的研究工作。
• 建立量子算法在总运行时间上相对于经典算法实现加速的优势条件。

提出的方法

• 经典算法通过倍增技术预处理最近公共祖先（LCA），以支持快速的祖先查询与距离查询。
• 采用改进版的 Chrobak-Larmore 算法，结合支持 $O(\log n)$ LCA 与 $O(1)$ MoveUp 操作的数据结构进行优化。
• 量子算法用量子子程序 QLCP 替代经典 LCA，QLCP 利用振幅放大技术计算两条字符串路径的最长公共前缀。
• QLCP 基于一种稳健的量子搜索算法，可在预言机存在双侧有界误差时，仍能有效找出列表中第一个标记元素。
• 通过重复调用 FindFirst 并采用多数投票机制，将每次调用的错误概率降低至 $O(1/n^3)$。
• 整体量子算法每次请求的复杂度为 $O(k^2\sqrt{n}\log n)$，当使用字符串路径预言机时无需预处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够实现 Chrobak-Larmore $k$-竞争性算法在树上 $k$-服务器问题中的子线性每次请求时间复杂度？
• RQ2 当树以字符串路径表示且具备预言机访问时，是否可能在 $k$-服务器问题中实现量子加速？
• RQ3 当预言机存在双侧有界误差时，如何将量子搜索算法调整为寻找第一个标记元素？
• RQ4 在请求次数较少时，量子算法相对于经典算法的总运行时间优势为何？
• RQ5 是否可以设计一种无需预处理的量子算法，仅依赖对路径信息的量子预言机访问？

主要发现

• 经典算法将每次请求的时间复杂度从 $O(n)$ 降低至 $O(k^2 + k\log n)$，预处理时间为 $O(n\log n)$。
• 量子算法每次请求的处理时间为 $O(k^2\sqrt{n}\log n)$，错误概率为 $O(1/n)$，且仅依赖于对字符串路径的量子预言机访问。
• 当请求次数为 $o(\sqrt{n}/k^2)$ 时，量子算法在总运行时间上实现相对于经典算法的加速。
• 提出一种新的量子搜索算法，用于寻找第一个标记元素，在双侧有界误差下具有 $O(\sqrt{m})$ 的最坏情况查询复杂度。
• 量子 LCP 子程序 QLCP 的运行时间为 $O(\sqrt{m}\log m)$，错误概率为 $O(1/m^3)$，可高效支持树结构中的路径比较。
• 所提出的量子算法无需任何预处理，适用于动态或流式树环境。