[论文解读] Fast digital methods for adiabatic state preparation

Kianna Wan, Isaac H. Kim|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 36被引用 9

一句话总结

本文提出了一种基于门模型量子计算机的快速绝热态制备量子算法，利用准绝热连续法在逆误差上实现多对数尺度。其查询复杂度为 $\mathcal{O}\left(\frac{\alpha^2}{\gamma^2}\operatorname{polylog}(\alpha/\gamma\epsilon)\right)$（适用于一般本征态），并对基态进一步优化了标度，相较于先前方法在精度依赖性上实现了指数级改进。

ABSTRACT

We present a quantum algorithm for adiabatic state preparation on a gate-based quantum computer, with complexity polylogarithmic in the inverse error. Our algorithm digitally simulates the adiabatic evolution between two self-adjoint operators $H_0$ and $H_1$, exponentially suppressing the diabatic error by harnessing the theoretical concept of quasi-adiabatic continuation as an algorithmic tool. Given an upper bound $α$ on $\|H_0\|$ and $\|H_1\|$ along with the promise that the $k$th eigenstate $|ψ_k(s) angle$ of $H(s) \equiv (1-s)H_0 + sH_1$ is separated from the rest of the spectrum by a gap of at least $γ> 0$ for all $s \in [0,1]$, this algorithm implements an operator $\widetilde{U}$ such that $\||ψ_k(1) angle - \widetilde{U}|ψ_k(s) angle\| \leq ε$ using $O(α^2/γ^2) ext{polylog}(α/γε)$ queries to block-encodings of $H_0$ and $H_1$. In addition, we develop an algorithm that is applicable only to ground states and requires multiple queries to an oracle that prepares $|ψ_0(0) angle$, but has slightly better scaling in all parameters. We also show that the costs of both algorithms can be further reduced under certain reasonable conditions, such as when $\|H_1 - H_0\|$ is small compared to $α$, or when more information about the gap of $H(s)$ is available. For certain problems, the scaling can even be improved to linear in $\|H_1 - H_0\|/γ$ up to polylogarithmic factors.

研究动机与目标

• 为解决量子模拟中初始态制备成本过高的问题，特别是针对低能本征态。
• 克服基于Trotter-Suzuki分解的先前绝热态制备算法中误差依赖为多项式的问题。
• 开发一种数字量子算法，实现逆误差的多对数标度，显著改善精度依赖性。
• 将准绝热连续的理论框架作为实际算法工具应用于数字量子模拟。
• 通过整合本征态滤波与数字绝热演化，改进基态制备的标度。

提出的方法

• 该算法使用块编码预言机数字模拟两个自伴哈密顿量 $H_0$ 和 $H_1$ 之间的绝热演化。
• 它应用准绝热连续的概念，通过构造一个精心选择的函数 $f(t)$ 的时间演化算符，以抑制非绝热误差。
• 该方法避免使用滤波技术，转而采用基于时间有序指数积分变换的非幺正演化框架。
• 它通过每次对 $H_0$ 和 $H_1$ 预言机各一次查询，构建 $H(s) = (1-s)H_0 + sH_1$ 的块编码，实现在 $[s_0, s_1] \subset [0,1]$ 上的分段绝热演化。
• 对于基态，它将本征态滤波与数字绝热制备相结合，需要对基态制备预言机 $G_0$ 进行多次查询以准备 $|\psi_0(0)\rangle$。
• 在额外假设下（如 $\|H_1 - H_0\|$ 较小或非均匀能隙边界 $\gamma(s)$ 存在），其复杂度可进一步优化至 $\widetilde{\mathcal{O}}(\beta/\gamma)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可在数字量子算法中实现绝热态制备的逆误差多对数依赖？
• RQ2 如何将准绝热连续框架转化为可用于态制备的实际量子算法？
• RQ3 当已知 $H_0$ 的本征态时，制备 $H_1$ 的目标本征态的最优查询与门复杂度是多少？
• RQ4 当获得关于谱能隙 $\gamma(s)$ 的额外信息时，能否实现更优的标度？
• RQ5 引入基态制备预言机如何影响绝热态制备的整体复杂度？

主要发现

• 该算法通过 $\mathcal{O}\left(\frac{\alpha^2}{\gamma^2}\operatorname{polylog}(\alpha/\gamma\epsilon)\right)$ 次对 $H_0$ 和 $H_1$ 块编码的查询，以误差 $\epsilon$ 制备 $H_1$ 的第 $k$ 个本征态。
• 对于基态，在有利条件下，该算法将复杂度降低至 $\widetilde{\mathcal{O}}(\beta/\gamma)$ 次查询，优于先前具有多项式误差依赖的方法。
• 该方法可在任意区间 $[s_0, s_1] \subset [0,1]$ 上实现分段绝热演化，允许基于局部能隙信息 $\gamma(s)$ 的自适应标度。
• 当 $\|H_1 - H_0\|$ 相对于 $\alpha$ 较小时，复杂度标度为 $\widetilde{\mathcal{O}}(\|H_1 - H_0\|/\gamma)$，实现对扰动强度的线性依赖。
• 该算法在不依赖滤波技术的前提下，保持了对 $1/\epsilon$ 的多对数标度，相较于现有绝热模拟方法在概念与实践上均有显著改进。
• 在对谱能隙函数 $\gamma(s)$ 合理假设下，查询复杂度可降低至 $\widetilde{\mathcal{O}}(\beta/\gamma)$，相较于先前的能隙优化算法，在精度标度上实现了指数级改进。