[论文解读] Fast Distributed Algorithms for Maximal Matching and Maximal Independent Set

Leonid Barenboim, Michael Elkin+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2012

Distributed systems and fault tolerance被引用 1

一句话总结

本文在 LOCAL 模型中提出了用于最大独立集（MIS）和最大匹配的快速随机分布式算法，采用了一种新颖的归约技术，将一般图上的对称性破缺问题转化为大小为多对数的图上的等价确定性问题。关键贡献是一个运行时间为 $O(\log^2\Delta + 2^{O(\sqrt{\log\log n})})$ 的 MIS 算法，该算法在中等度数图上优于 1986 年 Luby–Alon–Babai–Itai 的算法，并几乎达到 $\Omega(\log \Delta)$ 的下界。

ABSTRACT

Symmetry breaking problems are among the most well studied in the field of distributed computing and yet the most fundamental questions about their complexity remain open. In this paper we work in the LOCAL model (where the input graph and underlying distributed network are identical) and study the randomized complexity of four fundamental symmetry breaking problems on graphs: computing MISs (maximal independent sets), maximal matchings, vertex colorings, and ruling sets. A small sample of our results includes - An MIS algorithm running in $O(\log^2\Delta + 2^{O(\sqrt{\log\log n})})$ time, where $\Delta$ is the maximum degree. This is the first MIS algorithm to improve on the 1986 algorithms of Luby and Alon, Babai, and Itai, when $\log n \ll \Delta \ll 2^{\sqrt{\log n}}$, and comes close to the $\Omega(\log \Delta)$ lower bound of Kuhn, Moscibroda, and Wattenhofer. - A maximal matching algorithm running in $O(\log\Delta + \log^4\log n)$ time. This is the first significant improvement to the 1986 algorithm of Israeli and Itai. Moreover, its dependence on $\Delta$ is provably optimal. - A method for reducing symmetry breaking problems in low arboricity/degeneracy graphs to low degree graphs. (Roughly speaking, the arboricity or degeneracy of a graph bounds the density of any subgraph.) Corollaries of this reduction include an $O(\sqrt{\log n})$-time maximal matching algorithm for graphs with arboricity up to $2^{\sqrt{\log n}}$ and an $O(\log^{2/3} n)$-time MIS algorithm for graphs with arboricity up to $2^{(\log n)^{1/3}}$. Each of our algorithms is based on a simple, but powerful technique for reducing a randomized symmetry breaking task to a corresponding deterministic one on a poly$(\log n)$-size graph.

研究动机与目标

• 解决分布式计算中基本对称性破缺问题随机复杂度长期存在的开放问题。
• 克服 Luby 和 Israeli–Itai 在 1986 年提出的算法的局限性，这些算法数十年来一直保持领先水平。
• 开发一种通用技术，将高阶或稠密图上的对称性破缺任务归约为低阶、多对数规模图上的等价问题。
• 为最大匹配实现对最大度数 Δ 的可证明最优依赖关系，为 MIS 实现近乎最优的复杂度。

提出的方法

• 引入一种新颖的归约框架，将一般图上随机对称性破缺问题映射为大小为 poly(log n) 的图上的确定性问题。
• 利用该归约将原始问题转化为有界度数环境，从而可应用高效的确定性算法。
• 利用低分枝度或退化度图可分解为低度子图的性质，实现高效的局部计算。
• 将该归约应用于推导出 MIS 和最大匹配的改进时间复杂度算法，尤其适用于分枝度适中的图。
• 通过与已知下界关联，证明最大匹配算法中对 Δ 的依赖关系是最优的。
• 利用该归约将结果扩展至分枝度有界的图，为这类图类提供亚多项式时间算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在 LOCAL 模型中打破 1986 年 MIS 和最大匹配算法的时间复杂度屏障？
• RQ2 是否可能设计一种通用技术，将任意图上的对称性破缺问题归约为小规模、低度图上的等价问题？
• RQ3 分布式最大匹配算法对最大度数 Δ 的最优依赖关系是什么？能否实现？
• RQ4 分枝度和退化度如何影响分布式环境中对称性破缺问题的复杂度？
• RQ5 该归约框架能否用于推导出稀疏图类中 MIS 和最大匹配的近乎最优算法？

主要发现

• 提出了一种运行时间为 $O(\log^2\Delta + 2^{O(\sqrt{\log\log n})})$ 的 MIS 算法，当 $\log n \ll \Delta \ll 2^{\sqrt{\log n}}$ 时，优于 1986 年 Luby–Alon–Babai–Itai 的算法。
• 最大匹配算法的运行时间为 $O(\log\Delta + \log^4\log n)$，这是自 Israeli 和 Itai 在 1986 年提出算法以来的首次显著改进。
• 证明了最大匹配算法中对 Δ 的依赖关系是最优的，与已知的 $\Omega(\log \Delta)$ 下界一致。
• 对于分枝度不超过 $2^{\sqrt{\log n}}$ 的图，最大匹配算法的运行时间为 $O(\sqrt{\log n})$。
• 对于分枝度不超过 $2^{(\log n)^{1/3}}$ 的图，MIS 算法的运行时间为 $O(\log^{2/3} n)$。
• 所提出的归约技术使得通过在大小为 poly(log n) 的图上确定性求解，从而推导出对称性破缺问题的快速算法成为可能。