[论文解读] The Locality of Distributed Symmetry Breaking

Leonid Barenboim, Michael Elkin+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 39被引用 86

一句话总结

本文提出了一种新颖的技术，通过将大规模随机问题简化为小规模、多对数大小的组件，从而突破分布式对称性破缺中的联合界限障碍。该方法在最大独立集（MIS）、最大匹配和顶点着色问题上实现了随机复杂度的首次显著改进，关键成果包括：运行时间为 $O(\log^2\Delta + 2^{O(\sqrt{\log\log n})})$ 的 MIS 算法，以及在 $O(\log\Delta + \log^4\log n)$ 时间内实现可证明最优的最大匹配算法。

ABSTRACT

Symmetry breaking problems are among the most well studied in the field of distributed computing and yet the most fundamental questions about their complexity remain open. In this paper we work in the LOCAL model (where the input graph and underlying distributed network are identical) and study the randomized complexity of four fundamental symmetry breaking problems on graphs: computing MISs (maximal independent sets), maximal matchings, vertex colorings, and ruling sets. A small sample of our results includes - An MIS algorithm running in $O(\log^2Δ+ 2^{O(\sqrt{\log\log n})})$ time, where $Δ$ is the maximum degree. This is the first MIS algorithm to improve on the 1986 algorithms of Luby and Alon, Babai, and Itai, when $\log n \ll Δ\ll 2^{\sqrt{\log n}}$, and comes close to the $Ω(\log Δ)$ lower bound of Kuhn, Moscibroda, and Wattenhofer. - A maximal matching algorithm running in $O(\logΔ+ \log^4\log n)$ time. This is the first significant improvement to the 1986 algorithm of Israeli and Itai. Moreover, its dependence on $Δ$ is provably optimal. - A method for reducing symmetry breaking problems in low arboricity/degeneracy graphs to low degree graphs. (Roughly speaking, the arboricity or degeneracy of a graph bounds the density of any subgraph.) Corollaries of this reduction include an $O(\sqrt{\log n})$-time maximal matching algorithm for graphs with arboricity up to $2^{\sqrt{\log n}}$ and an $O(\log^{2/3} n)$-time MIS algorithm for graphs with arboricity up to $2^{(\log n)^{1/3}}$. Each of our algorithms is based on a simple, but powerful technique for reducing a randomized symmetry breaking task to a corresponding deterministic one on a poly$(\log n)$-size graph.

研究动机与目标

• 突破限制分布式对称性破缺中随机算法有效性的基本联合界限障碍。
• 为分布式核心问题（MIS、最大匹配、规则集和顶点着色）开发更快速的随机算法。
• 在 LOCAL 模型中实现可证明最优或近似最优的时间复杂度，尤其针对有界度或低边树度的图。
• 建立一个通用的约化框架，将大规模对称性破缺问题转化为小规模、可管理的子问题。
• 通过识别内在限制，厘清随机复杂度与确定性复杂度在分布式对称性破缺中的关系。

提出的方法

• 将原始的 $n$-节点对称性破缺问题约化为一组不相交的 ${\mathrm{poly}}(\log n)$-大小子问题，使得随机策略可在高概率下成功。
• 通过基于尺度的图分解方法，将图划分为低度组件，随后迭代应用基于树的独立集算法。
• 对 $\mathsf{TreeIndependentSet}$ 和 $\mathsf{TreeMIS}$ 算法进行修改，调整阈值和迭代次数，以处理高围长图。
• 引入一种新不变量，限制每个组件中高阶邻居的数量，从而确保失败概率有界。
• 利用子图最大度为 $O(\log n)$ 时，可使用已知技术在 $2^{O(\sqrt{\log\log n})}$ 时间内求解的事实。
• 通过结构分解，将低边树度图中的对称性破缺问题约化为低度图，从而在稀疏图上实现更快的算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 LOCAL 模型中，利用随机算法突破 MIS 问题的 $\Omega(\log \Delta)$ 下界？
• RQ2 在随机 LOCAL 模型中，是否可能实现最大匹配对 $\Delta$ 的可证明最优依赖关系？
• RQ3 能否将 $(\Delta+1)$-着色的复杂度降低至 $O(\log \Delta + \sqrt{\log n})$ 以下？
• RQ4 联合界限障碍是否从根本上限制了随机对称性破缺？若是，能否被克服？
• RQ5 能否在一般图中实现 MIS 和最大匹配的 $o(\log n)$-时间算法？

主要发现

• MIS 算法运行时间为 $O(\log^2\Delta + 2^{O(\sqrt{\log\log n})})$，当 $\log n \ll \Delta \ll 2^{\sqrt{\log n}}$ 时，优于 1986 年 Luby–Alon–Babai–Itai 的算法。
• 最大匹配算法运行时间为 $O(\log\Delta + \log^4\log n)$，自 1986 年 Israeli–Itai 算法以来首次实现显著改进，并实现了对 $\Delta$ 的最优依赖。
• $(\Delta+1)$-着色算法运行时间为 $O(\log\Delta + 2^{O(\sqrt{\log\log n})})$，优于先前的 $O(\log\Delta + \sqrt{\log n})$ 上界。
• 对于边树度不超过 $2^{\sqrt{\log n}}$ 的图，通过约化为低度图，最大匹配算法可在 $O(\sqrt{\log n})$ 时间内运行。
• 对于边树度不超过 $2^{(\log n)^{1/3}}$ 的图，使用相同约化技术，MIS 算法可在 $O(\log^{2/3}n)$ 时间内运行。
• 本文识别出联合界限为根本障碍，并推测随机复杂度与确定性复杂度相关联，暗示 $2^{O(\sqrt{\log\log n})}$ 项在无确定性改进的前提下可能不可避免。