[论文解读] Fast Hybrid Schemes for Fractional Riccati Equations (Rough is not so Tough)

Giorgia Callegaro, Martino Grasselli+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文提出了一种快速混合数值格式，用于求解粗糙赫斯顿随机波动率模型中出现的分数阶Riccati方程，结合幂级数展开与外推技术，将解的有效范围扩展至其有限收敛半径之外。该方法在精度和计算效率方面表现优异，优于标准的Adams方法在期权定价中的应用。

ABSTRACT

We solve a family of fractional Riccati differential equations with constant (possibly complex) coefficients. These equations arise, e.g., in fractional Heston stochastic volatility models, that have received great attention in the recent financial literature thanks to their ability to reproduce a rough volatility behavior. We first consider the case of a zero initial value corresponding to the characteristic function of the log-price. Then we investigate the case of a general starting value associated to a transform also involving the volatility process. The solution to the fractional Riccati equation takes the form of power series, whose convergence domain is typically finite. This naturally suggests a hybrid numerical algorithm to explicitly obtain the solution also beyond the convergence domain of the power series representation. Our numerical tests show that the hybrid algorithm turns out to be extremely fast and stable. When applied to option pricing, our method largely outperforms the only available alternative in the literature, based on the Adams method.

研究动机与目标

• 开发一种高效数值方法，用于求解粗糙赫斯顿模型中出现的具有常复系数的分数阶Riccati方程。
• 通过混合数值技术，将幂级数解的有效范围扩展，以克服其仅在有限区域内收敛的局限性。
• 为求解金融建模中分数阶常微分方程提供一种计算效率更高的替代方案，以替代Adams方法。
• 实现对对数价格及涉及波动率的联合特征函数的精确且快速计算，这对期权定价至关重要。
• 在实际期权定价场景中，特别是具有粗糙波动率特征的短期到期期权中，展示该方法的鲁棒性与高效性。

提出的方法

• 分数阶Riccati方程的解以时间的幂级数形式表示，其系数通过涉及伽马函数和分数阶导数的递推关系推导得出。
• 通过伽马函数比值的界和递推估计进行收敛性分析，确立了幂级数的有限收敛半径。
• 通过将幂级数解在其收敛域内与一种类似Richardson-Romberg的外推方法相结合，构建混合算法，以将精度扩展至收敛半径之外。
• 该方法利用了粗糙赫斯顿模型的仿射结构，将期权定价问题转化为求解具有复系数的分数阶Riccati方程。
• 通过利用伽马函数和分数阶微积分的性质，对系数进行递推有界估计，证明了稳定性和收敛性。
• 算法通过结合解析级数展开与数值外推实现，最大限度降低计算成本，同时保持高精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过数值混合化方法将分数阶Riccati方程的幂级数解扩展至其有限收敛半径之外？
• RQ2 在求解金融领域分数阶常微分方程时，所提出的混合格式在速度和精度上与标准Adams方法相比如何？
• RQ3 对于具有复系数的分数阶Riccati方程，其幂级数解的理论收敛域和稳定性行为如何？
• RQ4 在粗糙波动率下，该混合方法在定价短期到期期权时，能在多大程度上保持精度与效率？
• RQ5 该方法是否可推广以处理特征函数计算中初始条件为零与非零的情况？

主要发现

• 分数阶Riccati方程的幂级数解仅在有限半径内收敛，这限制了其在长时或大到期期限期权定价中的直接应用。
• 所提出的混合格式成功将解扩展至幂级数收敛半径之外，实现了在更长时间范围内的精确计算。
• 数值测试表明，该混合方法显著快于Adams方法，且在高精度期权定价中更具稳定性。
• 即使在极短时间范围内，该方法仍能保持高精度，特别适用于具有粗糙波动率特征的短期到期期权定价。
• 通过递推有界系数，证明了双重下标级数的收敛性，确立了该方法的理论有效性。
• 该算法在不同Hurst参数H ∈ (0,1)下均表现出鲁棒性能，支持其在广泛粗糙波动率模型中的应用。