[论文解读] Fast IMEX Time Integration of Nonlinear Stiff Fractional Differential Equations

Yongtao Zhou, Jorge L. Suzuki+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 63被引用 4

一句话总结

本论文提出了一类用于刚性非线性分数阶微分方程（FDEs）的一阶和二阶隐-显（IMEX）时间积分方法，其中分数阶阶数 α ∈ (0,1]。该方法结合了分数阶阿达姆斯-穆尔顿法与卢比奇（Lubich）类校正项，以处理初始奇异性，并利用快速托普利茨求解器实现 O(N log N) 的计算复杂度。所提格式展现出全局一阶和二阶精度，且线性稳定性区域得到改善，尤其在较小的 α 值下表现更优。

ABSTRACT

Efficient long-time integration of nonlinear fractional differential equations is significantly challenging due to the integro-differential nature of the fractional operators. In addition, the inherent non-smoothness introduced by the inverse power-law kernels deteriorates the accuracy and efficiency of many existing numerical methods. We develop two efficient first- and second-order implicit-explicit (IMEX) methods for accurate time-integration of stiff/nonlinear fractional differential equations with fractional order $α\in (0,1]$ and prove their convergence and linear stability properties. The developed methods are based on a linear multi-step fractional Adams-Moulton method (FAMM), followed by the extrapolation of the nonlinear force terms. In order to handle the singularities nearby the initial time, we employ Lubich-like corrections to the resulting fractional operators. The obtained linear stability regions of the developed IMEX methods are larger than existing IMEX methods in the literature. Furthermore, the size of the stability regions increase with the decrease of fractional order values, which is suitable for stiff problems. We also rewrite the resulting IMEX methods in the language of nonlinear Toeplitz systems, where we employ a fast inversion scheme to achieve a computational complexity of $\mathcal{O}(N \log N)$, where $N$ denotes the number of time-steps. Our computational results demonstrate that the developed schemes can achieve global first- and second-order accuracy for highly-oscillatory stiff/nonlinear problems with singularities.

研究动机与目标

• 为解决具有奇异初始行为的刚性非线性分数阶微分方程的长时间、高精度积分挑战。
• 开发高效的时间积分格式，即使在分数阶算子中由于反幂律核导致解不光滑的情况下，仍能保持高精度。
• 改善现有 IMEX 方法的线性稳定性区域，特别是针对在异常扩散和粘弹性模型中常见的小分数阶阶数 α ∈ (0,1] 的情形。
• 通过将格式重新表述为非线性托普利茨系统并应用快速求逆技术，将计算成本从 O(N²) 降低至 O(N log N)。
• 在一般非线性和奇异性条件下，为所提出的首阶和二阶 IMEX 方法建立收敛性和稳定性证明。

提出的方法

• 该方法以线性多步分数阶阿达姆斯-穆尔顿法（FAMM）作为 FDE 中刚性（隐式）部分的基础。
• 通过外推法显式处理非线性力项，以保持精度并避免在每一步求解非线性系统。
• 在分数阶算子中应用卢比奇类校正项，以捕捉 t=0 附近的奇异行为，从而提高对非光滑解的精度。
• 所得线性系统被重新表述为非线性托普利茨系统，从而可通过基于 FFT 的求解器实现快速矩阵-向量乘法。
• 通过利用托普利茨结构并应用快速求逆算法，实现 O(N log N) 的计算复杂度。
• 利用离散格朗沃尔不等式和校正权重的有界性，证明了稳定性和收敛性，对一阶和二阶格式均给出了严格的误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有初始奇异性的刚性非线性 FDE 构建一种 IMEX 方法，使其在存在初始奇异性时仍能保持一阶和二阶精度？
• RQ2 如何增强 FDE 的 IMEX 格式的线性稳定性区域，特别是针对小 α 值？
• RQ3 能否在不牺牲精度的前提下，将求解所得稠密线性系统的计算成本从 O(N²) 降低至 O(N log N)？
• RQ4 卢比奇类校正对非线性 FDE 的 IMEX 方法的收敛速率和稳定性有何影响？
• RQ5 与现有方法相比，所提格式在高度振荡、刚性且非光滑的 FDE 问题上的表现如何？

主要发现

• 所提出的首阶和二阶 IMEX 方法对具有奇异初始行为的刚性非线性 FDE 实现了全局一阶和二阶精度。
• 所提格式的线性稳定性区域大于现有 IMEX 方法，且随着分数阶阶数 α 的减小而扩大，这对刚性问题具有优势。
• 通过将格式重新表述为非线性托普利茨系统并应用快速求逆技术，计算复杂度被降低至 O(N log N)。
• 由于引入了用于初始奇异性的卢比奇类校正，即使在高度振荡问题中，格式仍能保持高精度。
• 理论上的收敛性和稳定性得到了严格证明，误差界依赖于解的正则性和校正项的阶数。
• 数值实验验证了理论结果，表明在 α ∈ (0,1] 的各种取值和非线性形式下，格式均表现出稳健性能。