[论文解读] Fast property testing and metrics for permutations

Jacob Fox, Fan Wei|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文在矩形距离度量下建立了对遗传排列性质的双边性质测试的多项式查询复杂度界，证明此类性质可实现关于 $1/\epsilon$ 的多项式查询复杂度，显著优于以往的塔型界。此外，本文还表明，诸如肯德尔tau距离等相关度量与矩形距离在测试目的上等价，从而使得多种排列距离度量下均可获得相似的界。

ABSTRACT

The goal of property testing is to quickly distinguish between objects which satisfy a property and objects that are $ε$-far from satisfying the property. There are now several general results in this area which show that natural properties of combinatorial objects can be tested with "constant" query complexity, depending only on $ε$ and the property, and not on the size of the object being tested. The upper bound on the query complexity coming from the proof techniques are often enormous and impractical. It remains a major open problem if better bounds hold. Maybe surprisingly, for testing with respect to the rectangular distance, we prove there is a universal (not depending on the property), polynomial in $1/ε$ query complexity bound for two-sided testing hereditary properties of sufficiently large permutations. We further give a nearly linear bound with respect to a closely related metric which also depends on the smallest forbidden subpermutation for the property. Finally, we show that several different permutation metrics of interest are related to the rectangular distance, yielding similar results for testing with respect to these metrics.

研究动机与目标

• 为解决排列性质测试中是否存在更优查询复杂度界这一主要开放问题。
• 在矩形距离度量下，为遗传排列性质的双边测试建立关于 $1/\epsilon$ 的通用多项式界。
• 将不同的排列距离度量（如肯德尔tau）与矩形距离关联，证明其在性质测试目的下等价。
• 为测试遗传排列性质提供近乎线性的查询复杂度界，该界依赖于该性质的最小禁止子排列。
• 证明排列的子线性时间性质测试可实现实际可行的多项式查询复杂度，而非不切实际的庞大界。

提出的方法

• 作者使用一种修改后的双边测试器，从输入排列中均匀随机采样一个大小为 $M'$ 的子排列。
• 在采样的子排列上应用已知的双边测试器（测试器1），参数为 $\epsilon/2$，以评估其是否属于性质 $\mathcal{P}$。
• 证明利用了该性质的遗传性以及已知的子排列采样结果，以控制误接受的概率。
• 通过结合概率论论证与排列点集在 dyadic 方格中的几何分析，控制了在不同尺度下映射到样本点的点数。
• 基于样本点与活跃/冻结区域的相对尺度，分析三种情形，每尺度下每个样本点的点数被界为 $56\delta_3 n$。
• 最终通过推导子排列 $B_j$ 的大小界 $|B_j| \leq 56\log(2/d')\delta_3 n$，得出整体多项式查询复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在矩形距离度量下，遗传排列性质的双边性质测试是否可实现关于 $1/\epsilon$ 的多项式查询复杂度，且与排列大小无关？
• RQ2 在性质测试方面，不同的排列距离度量（尤其是矩形距离与肯德尔tau）之间有何关系？
• RQ3 是否存在一个近乎线性的查询复杂度界，其依赖于该性质的最小禁止子排列？
• RQ4 在排列性质测试的背景下，能否用多项式界替代基于正则性引理方法所得到的不切实际的塔型界？
• RQ5 排列点集中的几何结构与性质测试的查询复杂度之间存在何种关系？

主要发现

• 在矩形距离度量下，为遗传排列性质的双边测试建立了 $O(\epsilon^{-c})$ 的通用多项式查询复杂度界，且与性质本身无关。
• 当界依赖于该性质的最小禁止子排列时，查询复杂度被证明在 $1/\epsilon$ 上近乎线性。
• 证明了矩形距离与肯德尔tau等其他度量在性质测试中等价，从而使得相同界可适用于多种度量。
• 该证明技术避免使用强正则性引理，从而避免了塔型界，实现了实际可行的多项式界。
• 通过控制 dyadic 尺度下映射到样本点的点数，最终得出用于测试的子排列大小总界为 $56\log(2/d')\delta_3 n$。
• 该结果意味着遗传排列性质的单边测试也可实现多项式查询复杂度，优于以往依赖非构造性或不切实际界的研究。