[论文解读] Fast quantum algorithms for approximating some irreducible representations of groups

Stephen P. Jordan|ArXiv.org|Nov 4, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 45被引用 9

一句话总结

本论文提出了多项式时间的量子算法，用于近似若干重要群的不可约表示矩阵元，包括对称群 $S_n$、交错群 $A_n$ 以及李群 $U(n)$、$SU(n)$ 和 $SO(n)$，利用量子傅里叶变换和量子施图尔变换。对于最坏情况实例，这些算法相比经典方法实现了指数级加速，而平均情况下的矩阵元估计在经典计算中依然高效。

ABSTRACT

We consider the quantum complexity of estimating matrix elements of unitary irreducible representations of groups. For several finite groups including the symmetric group, quantum Fourier transforms yield efficient solutions to this problem. Furthermore, quantum Schur transforms yield efficient solutions for certain irreducible representations of the unitary group. Beyond this, we obtain poly(n)-time quantum algorithms for approximating matrix elements from all the irreducible representations of the alternating group A_n, and all the irreducible representations of polynomial highest weight of U(n), SU(n), and SO(n). These quantum algorithms offer exponential speedup in worst case complexity over the fastest known classical algorithms. On the other hand, we show that average case instances are classically easy, and that the techniques analyzed here do not offer a speedup over classical computation for the estimation of group characters.

研究动机与目标

• 开发用于近似有限群与紧李群不可约表示矩阵元的高效量子算法。
• 识别出量子计算相比经典计算能实现指数级加速的群表示类别。
• 阐明估计群表示矩阵元与特征值的量子复杂性。
• 将已知的量子算法（如量子傅里叶变换和量子施图尔变换）扩展至更广泛的群与表示类别。
• 研究矩阵元近似问题中经典计算困难与容易实例之间的边界。

提出的方法

• 利用量子傅里叶变换高效实现具有高效傅里叶变换的有限群（如 $S_n$）的不可约表示。
• 利用量子施图尔变换高效实现酉群 $U(n)$ 的不可约表示。
• 应用哈达玛测试，通过量子线路测量估计矩阵元 $\langle \psi | U | \psi \rangle$ 的实部。
• 通过利用自共轭杨图和符号对称性，构建 $A_n$ 不可约表示的多项式时间量子线路。
• 通过模拟由盖尔范德-采特林表示导出的哈密顿量的时间演化，将方法扩展至李群，确保算子范数有界。
• 证明李代数表示 $a_{\vec{m}}(H_p)$ 的范数与矩阵中的位置 $p$ 无关，从而保证所有哈密顿量项的模拟复杂度一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 $A_n$ 的不可约表示矩阵元构造出高效的量子算法？
• RQ2 对于 $U(n)$、$SU(n)$ 和 $SO(n)$，具有多项式最高权表示的量子算法是否相比经典算法实现指数级加速？
• RQ3 估计 $S_n$ 不可约表示矩阵元的问题在最坏情况下是否经典困难？量子算法能否高效求解？
• RQ4 为何对矩阵元有效的方法无法为估计 $S_n$ 的归一化特征值提供加速？
• RQ5 在辫群的琼斯-温兹尔表示与对称群之间，近似矩阵元与特征值的复杂性关系为何？

主要发现

• 本文构建了 $\mathrm{poly}(n, 1/\epsilon)$-时间的量子算法，可将 $A_n$ 所有不可约表示的矩阵元近似到 $\pm\epsilon$ 以内。
• 对于 $U(n)$、$SU(n)$ 和 $SO(n)$，算法实现了对多项式最高权表示的矩阵元的 $\mathrm{poly}(n, 1/\epsilon)$-时间近似。
• 这些算法在这些群的矩阵元估计中最坏情况下的速度相比目前已知最快的经典算法实现了指数级加速。
• 平均情况下的矩阵元估计在经典计算中是容易的，这一点由针对 $S_n$ 归一化特征值的 $\mathrm{poly}(n, 1/\epsilon)$-时间经典随机算法得以证明。
• 这些技术无法为估计 $S_n$ 的归一化特征值提供量子加速，因为其在 BPP 和 DQC1-完全类中（对于辫群类比）。
• 证明了范数 $\|a_{\vec{m}}(H_p)\|$ 与矩阵中位置 $p$ 无关，从而确保所有哈密顿量项的模拟复杂度一致。