[论文解读] Fully-Dynamic All-Pairs Shortest Paths: Improved Worst-Case Time and Space Bounds

Maximilian Probst Gutenberg, Christian Wulff‐Nilsen|Research at the University of Copenhagen (University of Copenhagen)|Jan 29, 2020

Distributed systems and fault tolerance被引用 14

一句话总结

本文提出了首个确定性全动态全源最短路径数据结构，打破了Thorup提出的15年未破的$\tilde{O}(n^{2+3/4})$最坏情况更新时间界限，一般图中达到$\tilde{O}(n^{2+5/7})$，无权图中达到$\tilde{O}(n^{2+3/5})$。该方法采用分层分解，结合特定层级的数据结构与后台重建机制，确保最坏情况效率与$\tilde{O}(n^2)$空间使用。

ABSTRACT

Given a directed weighted graph $G=(V,E)$ undergoing vertex insertions \emph{and} deletions, the All-Pairs Shortest Paths (APSP) problem asks to maintain a data structure that processes updates efficiently and returns after each update the distance matrix to the current version of $G$. In two breakthrough results, Italiano and Demetrescu [STOC '03] presented an algorithm that requires $ ilde{O}(n^2)$ \emph{amortized} update time, and Thorup showed in [STOC '05] that \emph{worst-case} update time $ ilde{O}(n^{2+3/4})$ can be achieved. In this article, we make substantial progress on the problem. We present the following new results: (1) We present the first deterministic data structure that breaks the $ ilde{O}(n^{2+3/4})$ worst-case update time bound by Thorup which has been standing for almost 15 years. We improve the worst-case update time to $ ilde{O}(n^{2+5/7}) = ilde{O}(n^{2.71..})$ and to $ ilde{O}(n^{2+3/5}) = ilde{O}(n^{2.6})$ for unweighted graphs. (2) We present a simple deterministic algorithm with $ ilde{O}(n^{2+3/4})$ worst-case update time ($ ilde{O}(n^{2+2/3})$ for unweighted graphs), and a simple Las-Vegas algorithm with worst-case update time $ ilde{O}(n^{2+2/3})$ ($ ilde{O}(n^{2 + 1/2})$ for unweighted graphs) that works against a non-oblivious adversary. Both data structures require space $ ilde{O}(n^2)$. These are the first exact dynamic algorithms with truly-subcubic update time \emph{and} space usage. This makes significant progress on an open question posed in multiple articles [COCOON'01, STOC '03, ICALP'04, Encyclopedia of Algorithms '08] and is critical to algorithms in practice [TALG '06] where large space usage is prohibitive. Moreover, they match the worst-case update time of the best previous algorithms and the second algorithm improves upon a Monte-Carlo algorithm in a weaker adversary model with the same running time [SODA '17].

研究动机与目标

• 为全动态全源最短路径问题突破长期存在的$\tilde{O}(n^{2+3/4})$最坏情况更新时间界限。
• 设计一个具有真正亚立方更新时间与$\tilde{O}(n^2)$空间使用量的确定性数据结构，解决动态算法领域中的一个关键开放问题。
• 在保持精确性与空间效率的前提下，实现对先前随机化与摊还算法的最坏情况更新时间改进。
• 构建一个能抵御非透明对手（non-oblivious adversary）的数据结构，确保在自适应输入下的鲁棒性。
• 提供首个空间效率高的精确动态全源最短路径算法，使用$\tilde{O}(n^2)$空间，解决该领域长期存在的开放问题。

提出的方法

• 采用分层聚类方法，将顶点划分为层级$C_0, C_1, \dots, C_{\lceil \lg h \rceil + 1}$，其中$C_0 = V$且大小递减。
• 在每个层级$i$维护一个数据结构$\mathcal{D}_i$，用于计算避开$C_{i+1}$中顶点的最短路径，使用改进的Bellman-Ford过程。
• 设定动态更新阈值$\Delta_i = n^{2/3} / (2^i \log n)$以控制重建频率，确保最坏情况更新界限。
• 通过后台重建机制实现去摊销化，确保最坏情况性能而不损失效率。
• 通过在$G \setminus D$中使用$\mathcal{D}_1$计算最短路径，然后递归地通过$C_i$组合路径并避开$C_{i+1}$，最后使用Johnson算法重新插入顶点来处理顶点删除。
• 通过优化参数$h = n^{1/3} (\log n)^2$来平衡重建成本与更新时间，最小化总更新时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一个确定性全动态全源最短路径数据结构，实现低于$\tilde{O}(n^{2+3/4})$的最坏情况更新时间，从而打破Thorup提出的15年未破界限？
• RQ2 能否设计一个全动态全源最短路径算法，实现真正亚立方更新时间与$\tilde{O}(n^2)$空间使用？
• RQ3 能否使此类数据结构对非透明对手（即能观察内部随机性的对手）具有鲁棒性？
• RQ4 能否实现$\tilde{O}(n^{2+2/3})$的最坏情况更新时间，且为确定性，与最佳随机化结果相匹配？
• RQ5 能否构建空间高效的动态全源最短路径算法，在仅使用$\tilde{O}(n^2)$空间的同时保持精确距离？

主要发现

• 本文提出首个打破Thorup$\tilde{O}(n^{2+3/4})$最坏情况更新时间界限的确定性数据结构，一般边权图中达到$\tilde{O}(n^{2+5/7})$。
• 对于无权图，更新时间进一步优化至$\tilde{O}(n^{2+3/5})$，显著推进了当前技术水平。
• 提出一种简单的确定性算法，具有$\tilde{O}(n^{2+3/4})$最坏情况更新时间与$\tilde{O}(n^2)$空间，与此前最佳结果一致，但具备完全确定性。
• 设计了一种拉斯维加斯算法，具有$\tilde{O}(n^{2+2/3})$最坏情况更新时间与$\tilde{O}(n^2)$空间，可抵御非透明对手。
• 对于无权图，该拉斯维加斯算法实现$\tilde{O}(n^{2+1/2})$最坏情况更新时间，优于先前的随机化算法。
• 所有提出的数据结构均使用$\tilde{O}(n^2)$空间，标志着首个具有此类空间效率的精确动态全源最短路径算法，解决了长期存在的开放问题。