[论文解读] Faster Divergence Maximization for Faster Maximum Flow

Yang P. Liu, Aaron Sidford|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2020

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 32被引用 24

一句话总结

该论文提出了一种用于有向图最大流问题的新内点法（IPM），其时间复杂度为 $ m^{4/3+o(1)}U^{1/3} $，在容量适中且稀疏的图上优于以往的复杂度界限。该方法通过使用加权对数障碍函数将能量最大化推广为Bregman散度最小化，避免了 $ \ell^4 $-范数依赖性，并利用平滑的 $ \ell^2 $-$ \ell^p $ 流求解器高效求解高精度无向流问题，从而实现更快的收敛速度。

ABSTRACT

In this paper we provide an algorithm which given any $m$-edge $n$-vertex directed graph with integer capacities at most $U$ computes a maximum $s$-$t$ flow for any vertices $s$ and $t$ in $m^{4/3+o(1)}U^{1/3}$ time. This improves upon the previous best running times of $m^{11/8+o(1)}U^{1/4}$ (Liu Sidford 2019), $ ilde{O}(m \sqrt{n} \log U)$ (Lee Sidford 2014), and $O(mn)$ (Orlin 2013) when the graph is not too dense or has large capacities. To achieve the results this paper we build upon previous algorithmic approaches to maximum flow based on interior point methods (IPMs). In particular, we overcome a key bottleneck of previous advances in IPMs for maxflow (Mądry 2013, Mądry 2016, Liu Sidford 2019), which make progress by maximizing the energy of local $\ell_2$ norm minimizing electric flows. We generalize this approach and instead maximize the divergence of flows which minimize the Bregman divergence distance with respect to the weighted logarithmic barrier. This allows our algorithm to avoid dependencies on the $\ell_4$ norm that appear in other IPM frameworks (e.g. Cohen Mądry Sankowski Vladu 2017, Axiotis Mądry Vladu 2020). Further, we show that smoothed $\ell_2$-$\ell_p$ flows (Kyng, Peng, Sachdeva, Wang 2019), which we previously used to efficiently maximize energy (Liu Sidford 2019), can also be used to efficiently maximize divergence, thereby yielding our desired runtimes. We believe both this generalized view of energy maximization and generalized flow solvers we develop may be of further interest.

研究动机与目标

• 为克服以往内点法（IPM）在最大流问题中因依赖 $ \ell^2 $-范数能量最大化而产生的运行时间瓶颈，该方法消除了 $ \ell^4 $-范数依赖性。
• 开发一种基于IPM的最大流通用框架，将能量最大化替换为基于Bregman散度的散度最大化。
• 通过利用平滑的 $ \ell^2 $-$ \ell^p $ 流求解器，实现对高精度无向流问题的高效求解，从而在几乎线性时间内实现更快的收敛速度。
• 证明该通用方法可为稀疏、整数容量的有向图最大流问题提供一个可证明更快的算法。

提出的方法

• 通过最大化与加权对数障碍函数相关的Bregman散度最小化所对应的流的散度，而非最小化 $ \ell^2 $-范数能量，从而推广IPM框架。
• 将电流传导中标准的 $ \ell^2 $-范数最小化替换为Bregman散度最小化，避免了以往IPM方法中固有的 $ \ell^4 $-范数依赖性。
• 使用平滑的 $ \ell^2 $-$ \ell^p $ 流求解器，高效求解每个IPM迭代中所需的高精度无向流问题。
• 应用迭代细化技术，使每个迭代中以 $ m^{1+o(1)} $ 时间求解这些广义流问题至高精度。
• 提出一种新颖的权重更新规则，显著降低对下一组中心路径点的拥塞程度，从而优化步长与权重增长。
• 将该算法与增广路径法及整数舍入技术结合，以在主循环结束后完成最大流的最终计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bregman散度最大化是否可替代IPM-based最大流算法中的能量最大化，从而避免 $ \ell^4 $-范数依赖性？
• RQ2 平滑的 $ \ell^2 $-$ \ell^p $ 流求解器是否可被适配用于在散度最大化IPM的背景下求解高精度无向流问题？
• RQ3 能否通过广义IPM框架在稀疏、整数容量的有向图中实现最大流的运行时间复杂度为 $ m^{4/3+o(1)}U^{1/3} $？
• RQ4 中心路径的哪些结构特性使得无需超线性增长或无界拥塞即可实现最优权重更新？
• RQ5 该广义的散度最大化框架是否可推广至最大流以外的其他流问题与优化问题？

主要发现

• 所提出的算法在 $ m^{4/3+o(1)}U^{1/3} $ 时间内计算出最大s-t流，优于以往在稀疏图且容量适中情况下的最佳时间复杂度 $ m^{11/8+o(1)}U^{1/4} $。
• 通过使用Bregman散度最小化而非 $ \ell^2 $-范数能量最小化，该算法避免了以往IPM方法中的 $ \ell^4 $-范数依赖性，从而突破了关键性能瓶颈。
• 平滑的 $ \ell^2 $-$ \ell^p $ 流求解器被成功推广，用于求解每个IPM迭代中所需的高精度无向流问题，从而实现每步 $ m^{1+o(1)} $ 时间复杂度。
• 权重更新规则确保对下一中心路径点的拥塞程度被乘法性地减少，且在终止时满足 $ \|w\|_1 \leq 5m/2 $，从而保持高效性。
• 通过结合散度最大化、迭代细化与最终的增广路径阶段，该算法实现了正确性与接近最优的时间复杂度。
• 作者指出 $ m^{4/3} $ 可能是基于IPM的最大流算法的自然时间复杂度下限，暗示若要突破该界限，需采用非加法型权重更新机制或新颖的中心路径步进策略。