[论文解读] Fat and Thin Emergent Geometries of Hermitian One-Matrix Models

Jian Zhou|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2018

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文通过分析赫米特一矩阵模型中亏格零自由能函数，揭示了‘胖’与‘瘦’涌现几何之间的对偶性，这些自由能函数通过具有整数系数的形式幂级数定义谱曲线。该对偶性源于两种不同的亏格展开——彼此对偶——统一了图计数（推广了卡塔兰数）与平面代数曲线的代数几何，即使在有限 N 时也揭示了涌现几何。

ABSTRACT

We use genus zero free energy functions of Hermitian matrix models to define spectral curves and their special deformations. They are special plane curves defined by formal power series with integral coefficients generalizing the Catalan numbers. This is done in two different versions, depending on two different genus expansions, and these two versions are in some sense dual to each other.

研究动机与目标

• 探索赫米特一矩阵模型在 N→∞ 极限之外的涌现几何。
• 通过矩阵模型谱曲线建立胖与瘦图计数之间的对偶性。
• 将离散计数问题（推广卡塔兰数）与平面代数曲线的代数几何统一起来。
• 通过对称函数代数证明，即使在有限 N 时，涌现几何也会出现。
• 通过涌现几何将矩阵模型谱曲线与可积层次结构及镜像对称联系起来。

提出的方法

• 使用赫米特矩阵模型的亏格零自由能函数来定义谱曲线。
• 应用两种不同的亏格展开，二者互为对偶。
• 使用具有整数系数的形式幂级数，推广卡塔兰数。
• 从矩阵模型配分函数的生成函数推导谱曲线。
• 利用 Eynard-Orantin 拓扑递归和 Virasoro 约束，将其与可积系统联系起来。
• 分析 N=1 极限（拓扑 1D 引力）并通过对偶性将其与 N→∞ 极限联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限 N 时，赫米特矩阵模型中的涌现几何如何产生？
• RQ2 矩阵模型中胖与瘦图计数之间存在何种对偶性？
• RQ3 由亏格零自由能函数定义的谱曲线如何统一离散计数与代数几何？
• RQ4 是否能通过共同框架统一矩阵模型的 N=1 与 N→∞ 极限？
• RQ5 镜像对称是否是矩阵模型框架中的一种涌现现象？

主要发现

• 本文通过赫米特矩阵模型中两种不同的亏格展开，建立了胖与瘦图计数之间的对偶性。
• 谱曲线由具有整数系数的形式幂级数定义，推广了卡塔兰数。
• 通过矩阵模型框架中的对偶性，统一了 N=1 极限（拓扑 1D 引力）与 N→∞ 极限。
• 威滕-孔采维奇 τ 函数的涌现几何通过谱曲线的特殊形变被重新表述。
• 从谱曲线条件导出的方程组在耦合常数 I0, I2 的表达下，对 p, q, fn 有一致解。
• 结果表明，镜像对称可能是涌现几何框架中 KP 层次结构的涌现现象。