[论文解读] Fekete-Szego inequality for Classes of Starlike and Convex Functions

Nusrat Raza, Eman S. A. AbuJarad+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2019

Analytic and geometric function theory参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文通过使用 $(p,q)$-导数算子引入了广义的 $(p,q)$-星型函数与 $(p,q)$-凸函数类，并建立了这些类别的 Fekete-Szeg

ABSTRACT

In the present paper, the new generalized classes of (p,q)-starlike and $(p,q)$-convex functions are introduced by using the (p,q)-derivative operator. Also, the (p,q)-Bernardi integral operator for analytic function is defined in an open unit disc. Our aim for these classes is to investigate the Fekete-Szego inequalities. Moreover, Some special cases of the established results are discussed. Further, certain applications of the main results are obtained by applying the (p,q)-Bernardi integral operator

研究动机与目标

• 通过引入使用 $(p,q)$-导数算子的新类，推广经典星型与凸函数概念。
• 为新定义的 $(p,q)$-星型与 $(p,q)$-凸函数建立 Fekete-Szeg"o 不等式。
• 在单位圆盘上的解析函数背景下，定义并分析 $(p,q)$-Bernardi 积分算子。
• 为这些广义类中的函数推导系数界，特别是针对 $a_3 - \mu a_2^2$。
• 通过 $(p,q)$-Bernardi 算子展示主要结果的应用，并在 $p \to 1^-$ 与 $q \to 1^-$ 时恢复已知类的特殊情况。

提出的方法

• 本文使用定义为 $D_{p,q}f(z) = \frac{f(pz) - f(qz)}{(p-q)z}$ 的 $(p,q)$-导数算子 $D_{p,q}$，其中 $0 < q < p \leq 1$。
• 通过亚纯性关系定义 $(p,q)$-星型与 $(p,q)$-凸函数：分别为 $\frac{z D_{p,q}f(z)}{f(z)} \prec \phi(z)$ 与 $1 + \frac{z D_{p,q}^2 f(z)}{D_{p,q}f(z)} \prec \phi(z)$。
• $(p,q)$-Bernardi 积分算子被引入为保持单位圆盘 $\mathbb{U}$ 内解析性的线性积分变换。
• 通过亚纯性与系数比较技术推导 Fekete-Szeg"o 不等式，其界以 $[n]_{p,q} = \frac{p^n - q^n}{p - q}$ 表示。
• 通过分析函数 $|a_3 - \mu a_2^2|$ 在不同 $\mu$ 范围内的性质，结合生成函数 $\phi(z) = 1 + b_1 z + b_2 z^2 + \cdots$ 的参数 $L_2$、$L_3$、$b_1$ 与 $b_2$，获得关键不等式。
• 通过证明当 $p \to 1^-$ 与 $q \to 1^-$ 时，特殊情况可退化为已知的 $q$-类比与经典 Fekete-Szeg"o 不等式，验证了结果的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 $(p,q)$-导数算子推广经典星型性与凸性概念？
• RQ2 新定义的 $(p,q)$-星型与 $(p,q)$-凸函数的最优 Fekete-Szeg"o 不等式是什么？
• RQ3 $(p,q)$-Bernardi 积分算子如何影响这些广义类中的系数界？
• RQ4 当 $p \to 1^-$ 与 $q \to 1^-$ 时，所推导不等式的极限行为如何？它们如何恢复经典结果？
• RQ5 这些结果能否用于获得特定解析函数子类的新系数估计？

主要发现

• $(p,q)$-星型函数的 Fekete-Szeg"o 不等式根据 $\mu$ 的不同分为三种情况，其界涉及 $[2]_{p,q}$、$[3]_{p,q}$、$L_2$、$L_3$、$b_1$ 与 $b_2$，其中 $\sigma_1$、$\sigma_2$ 与 $\sigma_3$ 定义了临界阈值。
• 当 $\mu \leq \sigma_1$ 时，界为 $|a_3 - \mu a_2^2| \leq \frac{b_2}{[3]_{p,q}-1} + \frac{b_1^2}{[2]_{p,q}-1}\left(\frac{1}{[3]_{p,q}-1} - \frac{\mu}{[2]_{p,q}-1}\right)$。
• 当 $\sigma_1 \leq \mu \leq \sigma_2$ 时，界简化为 $|a_3 - \mu a_2^2| \leq \frac{b_1}{[3]_{p,q}-1}$。
• 当 $\mu \geq \sigma_2$ 时，界变为 $|a_3 - \mu a_2^2| \leq -\frac{b_2}{[3]_{p,q}-1} - \frac{b_1^2}{[2]_{p,q}-1}\left(\frac{1}{[3]_{p,q}-1} - \frac{\mu}{[2]_{p,q}-1}\right)$。
• 当 $\sigma_1 < \mu \leq \sigma_3$ 时，推导出一个涉及 $|a_2|^2$ 的改进不等式，表明绝对值之和与一个修正项被有界于 $\frac{b_1}{[3]_{p,q}L_3 - 1}$。
• 对于 $(p,q)$-凸函数，相应的 Fekete-Szeg"o 不等式已建立，其界依赖于 $\rho_1$、$\rho_2$ 与 $\rho_3$，并在 $\rho_1 < \mu \leq \rho_3$ 或 $\rho_3 \leq \mu < \rho_2$ 时包含类似 $|a_2|^2$ 的修正项。