[论文解读] Feynman graphs, and nerve theorem for compact symmetric multicategories (extended abstract)

André Joyal, Joachim Kock|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文通过引入费曼图类别作为组合框架，为紧致对称多范畴建立了神经定理。结果表明，紧致对称多范畴恰好是该类别上的满足塞加尔条件的预层，通过图型物种上的单子结构，将范畴和多范畴的神经定理推广至模形式、对称的设定。

ABSTRACT

We describe a category of Feynman graphs and show how it relates to compact symmetric multicategories (coloured modular operads) just as linear orders relate to categories and rooted trees relate to multicategories. More specifically we obtain the following nerve theorem: compact symmetric multicategories can be characterised as presheaves on the category of Feynman graphs subject to a Segal condition. This text is a write-up of the second-named author's QPL6 talk; a more detailed account of this material will appear elsewhere.

研究动机与目标

• 将神经定理从范畴和多范畴推广至紧致对称多范畴（带颜色的模形式操作代数）。
• 定义费曼图的范畴作为编码多输入多输出运算的组合基础。
• 确立紧致对称多范畴与满足塞加尔条件的费曼图范畴上的预层之间的等价性。
• 通过自由-遗忘伴随关系和装饰图上的单子结构，推广图型物种的单子方法。

提出的方法

• 引入费曼图的范畴作为神经构造的指标范畴，推广了线性序（用于范畴）和根树（用于多范畴）的设定。
• 通过在装饰图上定义一个复合运算，在图型物种的范畴上构造一个单子，其中顶点被具有匹配接口的子图替代。
• 构造该单子的克利斯利范畴，记为 Gr，其捕捉从图到装饰子图的态射。
• 在 Gr 中建立一个通用/自由因子分解系统，其中通用态射对应于细化，自由态射对应于 étale 同态。
• 利用此因子分解证明，从紧致对称多范畴到 Gr 上预层的神经函子是全忠实的。
• 运用范畴论技术，包括左凯恩扩张和层条件，验证神经函子的本质像由满足塞加尔条件的预层构成。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将范畴和多范畴的神经定理推广至紧致对称多范畴的设定？
• RQ2 何种组合结构——具体而言，何种图的范畴——可作为此类神经定理的指标范畴？
• RQ3 图型物种上的单子结构如何编码紧致对称多范畴中运算的复合与对称性？
• RQ4 塞加尔条件在表征作为紧致对称多范畴神经函子的预层中起何种作用？
• RQ5 费曼图范畴中的通用/自由因子分解是否可用于证明神经定理，类似于单纯范畴中的因子分解？

主要发现

• 从紧致对称多范畴到费曼图范畴上预层的神经函子是全忠实的。
• 费曼图范畴上的预层属于神经函子的本质像，当且仅当其限制到零顶点图的全子范畴时满足塞加尔条件。
• 费曼图范畴具有一个通用/自由因子分解系统，类似于单纯范畴 Δ 中的系统。
• 图型物种上的单子结构源于一种替换顶点为子图的复合运算，该结构构成了紧致对称多范畴定义的基础。
• 该构造推广了盖茨勒–卡普兰诺夫对模形式操作代数的方法，其中费曼图范畴扮演了他们工作中所用图范畴的角色。
• 紧致对称多范畴的神经定理通过左凯恩扩张的保持性结果得以证明，其依赖于通用/自由因子分解。