[论文解读] Internal algebra classifiers as codescent objects of crossed internal categories

Mark Weber|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 37被引用 12

一句话总结

本文提出了一种类单子理论框架，通过交叉内部范畴的codescent对象，构建包含预定内部代数结构的通用环境结构。该框架推广了Loday与Fiedorowicz的交叉单纯群，并应用于恢复已知构造，如从操作符生成的PROP，特别是在非对称、对称及辫状操作符的背景下，通过多项式2-单子实现。

ABSTRACT

Inspired by recent work of Batanin and Berger on the homotopy theory of operads, a general monad-theoretic context for speaking about structures within structures is presented, and the problem of constructing the universal ambient structure containing the prescribed internal structure is studied. Following the work of Lack, these universal objects must be constructed from simplicial objects arising from our monad-theoretic framework, as certain 2-categorical colimits called codescent objects. We isolate the extra structure present on these simplicial objects which enable their codescent objects to be computed. These are the crossed internal categories of the title, and generalise the crossed simplicial groups of Loday and Fiedorowicz. The most general results of this article are concerned with how to compute such codescent objects in 2-categories of internal categories, and on isolating conditions on the monad-theoretic situation which enable these results to apply. Combined with earlier work of the author in which operads are seen as polynomial 2-monads, our results are then applied to the theory of non-symmetric, symmetric and braided operads. In particular, the well-known construction of a PROP from an operad is recovered, as an illustration of our techniques.

研究动机与目标

• 开发一种通用的类单子理论语境，用于构建包含给定内部代数结构的通用环境结构。
• 解决当环境结构为内部范畴的2-范畴时，系统性构建此类通用对象的问题。
• 将交叉单纯群的概念推广至交叉内部范畴，以在2-范畴中计算codescent对象。
• 将该框架应用于操作符，特别是通过多项式2-单子，以恢复已知构造，如从操作符生成的PROP。
• 澄清操作理论中的基础问题，包括模形式包络以及Costello与Getzler-Kapranov对模形式操作符定义之间的关系。

提出的方法

• 将通用环境结构形式化为由2-单子伴随构造的单纯对象所导出的2-范畴中内部范畴的codescent对象。
• 引入“交叉内部范畴”的概念，作为单纯对象上的结构，以支持codescent对象的计算。
• 利用Cat上的多项式2-单子框架来建模操作符，包括非Σ-自由的情形，并将其与内部代数相关联。
• 通过识别相关单子理论数据并计算内部代数分类器，将理论应用于恢复从操作符生成的PROP构造。
• 利用codescent对象在2-范畴中的余极限结构，证明通用对象以与对称张量结构相容的方式分类内部代数。
• 利用对称群范畴中的双射-单调因子分解，分析态射恒等式，并证明在通用构造中同构被坍塌。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地构造一个包含给定内部代数结构的通用环境2-范畴，且该结构属于特定类型（如对称张量范畴）？
• RQ2 在2-范畴中的单纯对象上，何种附加结构可使其codescent对象可计算，且该结构如何推广经典交叉单纯群？
• RQ3 是否可在类单子理论框架下，通过交叉内部范畴的codescent对象，恢复从操作符生成的PROP构造？
• RQ4 何种条件下，2-单子伴随可使内部代数分类器成为交叉内部范畴的codescent对象？
• RQ5 类单子方法如何澄清Costello与Getzler-Kapranov对模形式操作符定义之间的关系？

主要发现

• 操作符态射Ass → Com的内部代数分类器被识别为Σ∆，即包含一个幺半群的自由对称严格张量范畴，其与PROP构造一致。
• 通用对象(Com/Σ)Ass被证明同构于交换严格张量范畴C，其对象为自然数，当m≠0且n=0时，hom集为空；否则为单元素集。
• (Com/Σ)Ass的构造被实现为内部范畴2-范畴中的coidentifier，其通用性质将所有同构坍塌为恒等态射。
• Σ∆的最大子群范畴被识别为对称群范畴P，且通用对象的底层范畴与C的底层范畴一致。
• (Com/Σ)Ass上的对称张量结构由要求通用幺半群为终对象1的唯一性条件所确定，且该结构与C一致。
• 本文证明，在交换张量范畴中的任意幺半群均为幂等的，表明非幂等幺半群的存在会阻碍与交换张量范畴的对称张量等价。