[论文解读] FI_W-modules and constraints on classical Weyl group characters

J. Wilson|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 44被引用 7

一句话总结

本文引入了FI_W-模来研究经典Weyl群（对称群、超八面体群及偶符号群）表示序列，证明在特征零下，有限生成的FI_W-模其特征多项式在n足够大时与n无关。这表明维数呈多项式增长，并可通过带符号循环计数函数统一描述特征标，将对称群的已有结果推广至B/C与D型。

ABSTRACT

In this paper we study the characters of sequences of representations of any of the three families of classical Weyl groups W_n: the symmetric groups, the signed permutation groups (hyperoctahedral groups), or the even-signed permutation groups. Our results extend work of Church, Ellenberg, Farb, and Nagpal on the symmetric groups. We use the concept of an FI_W-module, an algebraic object that encodes the data of a sequence of W_n-representations with maps between them, defined in the author's recent work ArXiv:1309.3817. We show that if a sequence {V_n} of W_n-representations has the structure of a finitely generated FI_W-module, then there are substantial constraints on the growth of the sequence and the structure of the characters: for n large, the dimension of V_n is equal to a polynomial in n, and the characters of V_n are given by a character polynomial in signed-cycle-counting class functions, independent of n. We determine bounds the degrees of these polynomials. We continue to develop the theory of FI_W-modules, and we apply this theory to obtain new results about a number of sequences associated to the classical Weyl groups: the cohomology of complements of classical Coxeter hyperplane arrangements, and the cohomology of the pure string motion groups (the groups of symmetric automorphisms of the free group).

研究动机与目标

• 将FI-模理论从对称群推广至B/C与D型的经典Weyl群。
• 建立在特征零下，有限生成的FI_W-模其特征多项式在n足够大时与n无关。
• 证明此类表示的维数在任意域上也呈多项式增长。
• 发展FI_W#-模理论，即具有更强对称性的子类，以推导更紧致的结构约束。
• 将该框架应用于超平面补集的上同调序列与纯弦运动群。

提出的方法

• 将FI_W-模定义为编码W_n-表示序列及其相容映射的代数结构。
• 利用诱导表示M_W(U)的理论对FI_W-模进行分类，并分析其特征多项式。
• 证明当n足够大时，V_n的特征标由有界于有限生成度的特征多项式给出，且该多项式依赖于带符号循环计数的共轭类函数。
• 通过将CEFN14结果推广至B/C与D型，建立在任意域上维数呈多项式增长的结论。
• 引入FI_W#-模作为具有额外对称性的改进版本，从而对表示分解施加更强的约束。
• 将该框架应用于计算超平面补集M_W(n)与纯弦运动群PΣ_n的上同调的特征多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 FI_W-模的有限生成性对n足够大时其表示V_n的特征标施加了何种约束？
• RQ2 在任意域上，有限生成FI_W-模中V_n的维数是否仍呈多项式增长？
• RQ3 B/C与D型中的特征多项式如何推广A型（对称群）中已知的结果？
• RQ4 经典Coxeter超平面排列补集的上同调作为FI_W-模具有何种结构？
• RQ5 FI_W#-模如何改进FI_W-模的结构，并对表示分解施加更强的约束？

主要发现

• 对于任意在特征零下有限生成的FI_W-模，其特征标χ_V_n(σ)对所有σ ∈ W_n及所有足够大的n，均由一个次数不超过d的特征多项式F_V给出，且该多项式与n无关。
• 维数dim(V_n)对所有足够大的n等于一个关于n的多项式，其次数由有限生成度d有界。
• 该维数的多项式增长在任意域上均成立，而不仅限于特征零，如定理4.20所示。
• H^2(M_BC(•), ℂ)的特征多项式被显式计算为 3(X_1 choose 2) + 3(Y_1 choose 2) - X_1Y_1 + 3X_2 - Y_2 + 14(X_1 choose 3) + 2(X_1 choose 2)Y_1 + …
• H^m(M_W(•), ℂ)分解为诱导表示M_W(U)的形式可通过特征多项式计算，如问题5.11所提出。
• FI_W#-模使得对V_n的表示分解可施加更强的结构约束，从而实现比标准FI_W-模更精细的分析。