[论文解读] Fibration theorems à la Milnor for differentiable maps with non-isolated singularities

José Luis Cisneros‐Molina, Aurélio Menegon+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文建立了类似于 Milnor 的纤维化定理，适用于具有非孤立奇点的 $C^{\ell}$ 实值映射，证明了 $d$-正则性可确保在球面上存在 Milnor 纤维化。研究表明，通过微分同胚变换目标空间可使判别式线性化；若变换后的映射满足 $d$-正则性，则存在球面纤维化，从而将经典结果推广至非孤立临界集的情形。

ABSTRACT

We prove fibration theorems à la Milnor for differentiable real maps with non isolated critical values. We study the situation for maps with linear discriminant, and prove that the concept of d-regularity is the key point for the existence of a Milnor fibration on the sphere. We also explain how one can modify the target space by homeomorphisms to linearize a general discriminant. Whenever the composed map is d-regular one has fibration on the sphere. Plenty of examples are discussed along the text.

研究动机与目标

• 将 Milnor 的纤维化定理推广至具有非孤立临界集的可微映射，其中临界值并非孤立的。
• 识别出 $d$-正则性作为确保此类映射在球面上存在 Milnor 纤维化的关键条件。
• 表明可通过目标空间的同胚变换线性化判别式，从而使得 $d$-正则性条件得以应用。
• 为在非孤立奇点存在的情况下构建局部平凡纤维化提供一个通用框架，推广了关于孤立临界点或临界值的先前结果。
• 以特定映射族 $(f,g) = (\sum a_i x_i^p, \sum b_i x_i^q)$ 作为 $d$-正则性与纤维化行为的说明性例子。

提出的方法

• 引入了针对具有非孤立奇点的映射的 $d$-正则性概念，其定义基于纤维 $f^{-1}(\ell)$ 与以原点为中心的小球面的横截性。
• 应用相对 Ehresmann 纤维化定理，在横截性条件成立时，于原点周围管状邻域上建立局部平凡纤维化。
• 利用 Ehresmann 联络与水平提升，证明在 $d$-正则性条件下，纤维化的复合仍保持纤维化性质。
• 构造了通过原点的直线 $\ell$ 对应的实解析子簇的典范线束 $X_\ell = f^{-1}(\ell)$，以分析奇点集附近纤维的几何结构。
• 通过同胚变换目标空间使判别式线性化，将一般判别式转化为线性形式，从而使得 $d$-正则性检验成为可能。
• 运用子解析集与 $C^\ell$-映射的理论，确保在非孤立情形下正则性与横截性条件成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有非孤立临界集的 $C^\ell$ 映射 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$ 在何种条件下于球面上存在 Milnor 纤维化？
• RQ2 如何将 $d$-正则性概念从孤立临界点推广至具有非孤立奇点的映射？
• RQ3 能否通过目标空间的同胚变换使映射的判别式线性化，从而简化纤维化结构的分析？
• RQ4 典范线束 $X_\ell = f^{-1}(\ell)$ 在确定映射 $f$ 在原点附近的纤维化性质中起什么作用？
• RQ5 对于映射族 $(f,g) = (\sum a_i x_i^p, \sum b_i x_i^q)$，在何种条件下满足 $d$-正则性，且在何种条件下存在球面纤维化？

主要发现

• 具有非孤立临界集的 $C^\ell$ 映射 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$ 在管状邻域上存在 Milnor-L\'e 纤维化，当且仅当其关于小球面满足横截性性质。
• $d$-正则性是球面上存在 Milnor 纤维化的必要且充分条件，其中投影由 $f/\|f\|$ 给出。
• 对于判别式为线性的映射，$d$-正则性确保纤维 $f^{-1}(\ell)$ 与所有以原点为中心的小球面横截。
• 若对应的 Ehresmann 联络相容，则两个纤维化的复合仍是纤维化，而这一性质在 $d$-正则性下得以保证。
• 在 $p,q \geq 2$ 且系数 $a_i, b_i$ 为一般系数的映射族 $(f,g) = (\sum a_i x_i^p, \sum b_i x_i^q)$ 下，只要满足弱条件，即为 $d$-正则的，从而保证存在球面纤维化。
• 通过在目标空间上施加适当的同胚变换，任何具有一般判别式的实映射均可转化为具有线性判别式的映射，若 $d$-正则性成立，则纤维化性质得以保持。