[论文解读] Fibrations and lax limits of $(\infty,2)$-categories

Andrea Gagna, Yonatan Harpaz+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文通过四种纤维化结构——内/外的纤维化与共纤维化——建立了$(∞,2)$-范畴中2-(共)极限的完整理论，对应于$ω$-索引图的四种变分类型。证明了这些纤维化结构编码了严格、加权及伪极限，并表明此类2-(共)极限可在标记单纯集张量的模型范畴中作为加权同伦极限计算，且余终性条件确保了极限的唯一性。

ABSTRACT

We study four types of (co)cartesian fibrations of $\infty$-bicategories over a given base $\mathcal{B}$, and prove that they encode the four variance flavors of $\mathcal{B}$-indexed diagrams of $\infty$-categories. We then use this machinery to set up a general theory of 2-(co)limits for diagrams valued in an $\infty$-bicategory, capable of expressing lax, weighted and pseudo limits. When the $\infty$-bicategory at hand arises from a model category tensored over marked simplicial sets, we show that this notion of 2-(co)limit can be calculated as a suitable form of a weighted homotopy limit on the model categorical level, thus showing in particular the existence of these 2-(co)limits in a wide range of examples. We finish by discussing a notion of cofinality appropriate to this setting and use it to deduce the unicity of 2-(co)limits, once exist.

研究动机与目标

• 通过识别编码$∞$-范畴值图四种变分类型的四种纤维化结构，将Grothendieck-Lurie对应关系推广至$(∞,2)$-范畴。
• 发展一个在$∞$-双范畴中捕捉严格、加权及伪极限的2-(共)极限的一般理论。
• 证明此类2-(共)极限可在标记单纯集张量的模型范畴中作为加权同伦极限计算。
• 在$(∞,2)$-范畴设定中引入余终性的概念，并证明当2-(共)极限存在时其唯一性。

提出的方法

• 在$∞$-双范畴$β$上引入四种纤维化结构——内共纤维化、外纤维化、外共纤维化与内纤维化——以编码对应于变分$β$、$β^{\mathrm{op}}$、$β^{\mathrm{co}}$与$β^{\mathrm{coop}}$的图。
• 利用标记-尺度单纯集上的直化-直化机理，将这些纤维化与取值于${\mathcal{C}\mspace{-2.0mu}\mathit{at}}_{\infty}$的函子联系起来。
• 为每种变分类型构造通用纤维化，从而在$∞$-双范畴的锥范畴中通过通用锥定义2-(共)极限。
• 应用余终性条件，将2-(共)极限锥刻画为锥的$∞$-双范畴中的通用对象，其中标记边编码纤维化结构。
• 依赖于尺度单纯集上的双范畴模型结构与$2$-平凡单纯模型结构之间的等价性，以确保良好的同伦性质。
• 证明在标记单纯集张量的模型范畴中，由其导出的$∞$-双范畴中的2-(共)极限与模型范畴层级上的加权同伦极限一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过纤维化结构编码$(∞,2)$-范畴上$∞$-范畴值图的四种变分类型？
• RQ2 在$(∞,2)$-范畴设定中，何种对(共)纤维化结构的正确推广能捕捉严格、加权及伪极限？
• RQ3 如何在同伦一致的意义下定义并计算$∞$-双范畴中的2-(共)极限？
• RQ4 何种余终性概念能确保$(∞,2)$-范畴语境中2-(共)极限的唯一性？
• RQ5 在由模型范畴导出的$∞$-双范畴中，2-(共)极限在多大程度上与经典的加权同伦极限一致？

主要发现

• $(∞,2)$-范畴上$∞$-范畴值图的四种变分类型由内共纤维化、外纤维化、外共纤维化与内纤维化纤维化结构分类。
• 在$∞$-范畴的$∞$-双范畴上存在一个通用内共纤维化，使得可通过通用锥构造2-(共)极限。
• 当满足余终性条件时，图$f: \overline{K} \to \mathcal{C}$的锥的$∞$-双范畴（配备标记边）具有一个可缩的Kan复形，其元素为2-极限锥。
• 一个2-(共)极限锥是通用的，当且仅当其包含映射为$\mathrm{var}$-余终映射，这推广了$∞$-范畴中最终性的概念。
• 在标记单纯集张量的模型范畴中，其导出的$∞$-双范畴中的2-(共)极限在模型范畴层级上可计算为加权同伦极限。
• 2-极限锥及其之间纤维化箭头的子-$\u221e$-双范畴是一个可缩的Kan复形，从而证明了2-(共)极限在一致同构意义下的唯一性。