[论文解读] Gray tensor products and lax functors of $(\infty,2)$-categories

Andrea Gagna, Yonatan Harpaz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文通过带标度的单纯集，在$(\infty,2)$-范畴的设定下引入了一个行为良好的Gray张量积，证明其满足结合律且为左Quillen双函子。该张量积通过使用伪张量函子的泛性质进行刻画，为与Gaitsgory-Rozenblyum构造的比较奠定了基础，并在高阶范畴论中实现了同伦论应用。

ABSTRACT

We give a definition of the Gray tensor product in the setting of scaled simplicial sets which is associative and forms a left Quillen bifunctor with respect to the bicategorical model category of Lurie. We then introduce a notion of oplax functor in this setting, and use it in order to characterize the Gray tensor product by means of a universal property. A similar characterization was used by Gaitsgory and Rozenblyum in their definition of the Gray product, thus giving a promising lead for comparing the two settings.

研究动机与目标

• 在带标度的单纯集设定下，为$(\infty,2)$-范畴定义一个行为良好的Gray张量积。
• 确立该张量积在Lurie的双范畴模型结构下满足结合律，并构成左Quillen双函子。
• 在$(\infty,2)$-范畴的语境下引入伪张量函子的概念，并利用其泛性质刻画Gray积。
• 通过伪张量函子的泛性质，为与Gaitsgory-Rozenblyum的Gray积构造进行比较提供一条路径。

提出的方法

• 作者在配备Lurie双范畴模型结构的带标度单纯集范畴中开展工作。
• 将Gray张量积定义为一个双函子，其在本质上满足结合律，并在每个变量中保持协丛和弱等价。
• 将$(\infty,2)$-范畴之间的伪张量函子定义为以受控方式保持薄三角形的映射，从而推广了2-范畴中的伪张量函子。
• 通过证明从$\mathcal{C} \times \mathcal{D}$到$\mathcal{E}$的伪张量函子函子范畴与从$\mathcal{C} \otimes \mathcal{D}$到$\mathcal{E}$的函子函子范畴在特定条件下存在等价，从而构建其泛性质。
• 利用一个四维单纯形$\mathfrak{P}$及其面的饱和闭包论证，表明目标中的所有薄三角形均被伪张量函子的像所捕获。
• 确立从$\mathrm{Fun}(\mathcal{C} \otimes \mathcal{D}, \mathcal{E})$到$\mathrm{Fun}_{\mathrm{oplax}}(\mathcal{C} \times \mathcal{D}, \mathcal{E})$的限制函子是全纯的，且其本质像满足特定条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在带标度的单纯集模型中定义$(\infty,2)$-范畴的Gray张量积，使其满足结合律并尊重双范畴模型结构？
• RQ2 在$(\infty,2)$-范畴的语境下，Gray张量积能否通过涉及伪张量函子的泛性质来刻画？
• RQ3 所提出的构造在多大程度上与Gaitsgory和Rozenblyum在其高阶范畴论工作中所使用的Gray积对齐？
• RQ4 对伪张量函子施加何种条件可确保其能通过Gray张量积因子化？
• RQ5 Gray积的泛性质是否与Gaitsgory-Rozenblyum框架中的构造等价？

主要发现

• 在带标度的单纯集中定义的Gray张量积在本质上满足结合律，并在Lurie的双范畴模型结构下构成左Quillen双函子。
• 限制映射$\mathrm{Fun}(\mathcal{C} \otimes \mathcal{D}, \mathcal{E}) \to \mathrm{Fun}_{\mathrm{oplax}}(\mathcal{C} \times \mathcal{D}, \mathcal{E})$是全纯的，其本质像由满足两个条件的伪张量函子构成：保持分片上的映射，以及将特定2-单形映射为薄三角形。
• 证明依赖于表明目标中每个薄2-单形均属于特定集合$G_{\mathcal{C} \times \mathcal{D}}$的饱和闭包，利用四维单纯形$\mathfrak{P}$及其面的分解。
• 该构造提供了一个泛性质，与Gaitsgory和Rozenblyum所用的性质相匹配，从而为比较他们的Gray积与作者的构造铺平了道路。
• 该结果意味着$(\infty,2)$-范畴的底$(\infty,2)$-范畴通过Gray积携带一个可表示的张量结构。
• 作者确立了其Gray积与Verity框架中通过分层集定义的构造所给出的Gray积等价，该等价性基于两种模型之间的已知等价关系。