[论文解读] Fibrations and Yoneda's lemma in an $\infty$-cosmos

Emily Riehl, Dominic Verity|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文在 ∞-cosmos 内构建了高阶范畴理论的抽象框架，引入了笛卡尔纤维化并证明了一个 Yoneda 引理，该引理由表示纤维化的映射的 quasi-范畴与其中纤维的 quasi-范畴之间建立等价关系。该方法利用 ∞-cosmos 的同伦 2-范畴中的 2-范畴工具，为 (∞,1)-范畴理论提供了模型无关的基础，推广了 Joyal 和 Lurie 的工作，同时保持了弱等价性。

ABSTRACT

We use the terms $\infty$-categories and $\infty$-functors to mean the objects and morphisms in an $\infty$-cosmos: a simplicially enriched category satisfying a few axioms, reminiscent of an enriched category of fibrant objects. Quasi-categories, Segal categories, complete Segal spaces, marked simplicial sets, iterated complete Segal spaces, $θ_n$-spaces, and fibered versions of each of these are all $\infty$-categories in this sense. Previous work in this series shows that the basic category theory of $\infty$-categories and $\infty$-functors can be developed only in reference to the axioms of an $\infty$-cosmos; indeed, most of the work is internal to the homotopy 2-category, a strict 2-category of $\infty$-categories, $\infty$-functors, and natural transformations. In the $\infty$-cosmos of quasi-categories, we recapture precisely the same category theory developed by Joyal and Lurie, although our definitions are 2-categorical in natural, making no use of the combinatorial details that differentiate each model. In this paper, we introduce cartesian fibrations, a certain class of $\infty$-functors, and their groupoidal variants. Cartesian fibrations form a cornerstone in the abstract treatment of "category-like" structures a la Street and play an important role in Lurie's work on quasi-categories. After setting up their basic theory, we state and prove the Yoneda lemma, which has the form of an equivalence between the quasi-category of maps out of a representable fibration and the quasi-category underlying the fiber over its representing element. A companion paper will apply these results to establish a calculus of modules between $\infty$-categories, which will be used to define and study pointwise Kan extensions along $\infty$-functors.

研究动机与目标

• 通过 ∞-cosmos 的公理化框架，建立模型无关的 (∞,1)-范畴理论基础。
• 在 ∞-cosmos 中引入并发展笛卡尔纤维化及其群作用变体的理论。
• 在这一抽象设定中提出并证明 Yoneda 引理，推广经典 quasi-范畴 中的结果。
• 为 ∞-范畴中的模与逐点 Kan 扩张的演算提供基础。

提出的方法

• 将 ∞-cosmos 形式化为一个满足捕捉模型范畴中 fibrant 对象同伦行为的公理的单纯化增强范畴。
• 在 ∞-cosmos 的同伦 2-范畴内工作，该范畴内化了如同伦意义下的伴随、极限和自然变换等 2-范畴概念。
• 将笛卡尔纤维化定义为满足 2-细胞提升性质的函子，推广了 quasi-范畴与 Segal 空间中的概念。
• 构造笛卡尔纤维化的拉回，并通过 2-函子性证明其在基变换下的稳定性。
• 在同伦 2-范畴中使用对偶对象与同构对偶对象来分析普遍性质，并建立 Yoneda 引理。
• 通过涉及伴随、1-细胞与 2-细胞归纳法以及笛卡尔提升的保守性的 2-范畴论证证明 Yoneda 引理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 ∞-cosmos 内以模型无关的方式定义并研究笛卡尔纤维化？
• RQ2 在由 ∞-cosmos 定义的 ∞-范畴语境中，Yoneda 引理的正确表述是什么？
• RQ3 笛卡尔纤维化的拉回行为如何？它们在基变换下是否稳定？
• RQ4 ∞-cosmos 的同伦 2-范畴能否作为发展高阶范畴理论的通用设定？
• RQ5 2-范畴结构在捕捉 (∞,1)-范畴理论核心特征中起什么作用？

主要发现

• Yoneda 引理由 ∞-cosmos 设定中成立：存在从表示纤维化出发的函子的 quasi-范畴与该纤维的 quasi-范畴之间的自然等价。
• 笛卡尔纤维化在任意函子的拉回下保持不变，确立了其在 ∞-cosmos 中的稳定性。
• Yoneda 引理的证明依赖于同伦 2-范畴中使用对偶对象与伴随的 2-范畴构造，明确验证了单位与余单位的三角恒等式。
• 通过 1-细胞与 2-细胞归纳法刻画了笛卡尔 2-细胞提升性质，确保了提升的唯一性与保守性。
• 该框架确保 ∞-cosmos 中的弱等价恰好对应于同伦 2-范畴中的 2-范畴等价，保持了同伦不变性。
• 结果为 ∞-范畴中模与逐点 Kan 扩张的演算提供了基础，正如附录论文中所计划的。