[论文解读] On the Unicity of the Homotopy Theory of Higher Categories

Clark Barwick, Christopher Schommer‐Pries|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用 66

一句话总结

本文通过五个结构公理——强生成、弱生成、对应关系的内部态射、基本上推和普遍性——对 $(\infty,n)$-范畴的同伦理论建立了一个唯一性定理，证明了所有已知模型（例如 Rezk 的完全 Segal $\Theta_n$-空间、$n$-重完全 Segal 空间等）均满足这些公理，因此在 $(\mathbb{Z}/2)^n$ 作用下唯一等价。该理论的模空间被证明为 $B(\mathbb{Z}/2)^n$，确认了 $(\infty,n)$-范畴的同伦理论具有规范的、本质上唯一的性质。

ABSTRACT

We axiomatise the theory of $(\infty,n)$-categories. We prove that the space of theories of $(\infty,n)$-categories is a $B(\mathbb{Z}/2)^n$. We prove that Rezk's complete Segal $Θ_n$-spaces, Simpson and Tamsamani's Segal $n$-categories, the first author's $n$-fold complete Segal spaces, Kan and the first author's $n$-relative categories, and complete Segal space objects in any model of $(\infty,n-1)$-categories all satisfy our axioms. Consequently, these theories are all equivalent in a manner that is unique up to the action of $(\mathbb{Z}/2)^n$.

研究动机与目标

• 通过识别一组最小的结构公理，建立 $(\infty,n)$-范畴的规范且唯一的同伦理论。
• 在统一的公理框架下，将 $(\infty,n)$-范畴的不同模型（如 Rezk 的完全 Segal $\Theta_n$-空间和 $n$-重完全 Segal 空间）统一起来。
• 证明所有此类理论的模空间是一个分类空间 $B(\mathbb{Z}/2)^n$，表明模型之间的等价关系在该群作用下唯一。
• 通过由保持细胞的导出函子诱导的 Quillen 等价性，为模型范畴提供一个识别准则，使其成为 $(\infty,n)$-范畴的模型。
• 通过在 $(\infty,n)$-范畴上的富集，将唯一性结果推广至 $(\infty,n+1)$-范畴，利用 Gepner 和 Haugseng 的结果。

提出的方法

• 使用五个公理对 $(\infty,n)$-范畴的理论进行公理化：强生成、弱生成、对应关系的内部态射、通过广群 $n$-范畴中有限个上推图确定的基本上推，以及普遍性。
• 使用广群 $n$-范畴作为通用的细胞生成集，其中 $k$-细胞 $C_k$ 表示从 $C_k$ 到任意 $n$-范畴的通用函子。
• 通过分析满足公理的模型之间的等价关系空间，证明理论的模空间为 $B(\mathbb{Z}/2)^n$，表明该空间连通且基本群为 $(\mathbb{Z}/2)^n$。
• 验证所有主要模型——Rezk 的完全 Segal $\Theta_n$-空间、$n$-重完全 Segal 空间、$n$-相对范畴，以及 $(\infty,n-1)$-范畴中的完全 Segal 空间对象——均满足这些公理。
• 建立一个识别准则：两个 $(\infty,n)$-范畴的模型范畴之间的 Quillen 伴随是一个 Quillen 等价，当且仅当左导出函子保持细胞（即 $k$-细胞 $C_k$）模弱等价。
• 应用该识别准则，证明关键的 Quillen 伴随（例如 Segal $n$-范畴与 $n$-重完全 Segal 空间之间）是 Quillen 等价，从而确认模型等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个唯一的 $(\infty,n)$-范畴同伦理论，其等价关系在等价下唯一？如果是，此类等价关系的空间是什么？
• RQ2 所有已知的 $(\infty,n)$-范畴模型（如 Rezk 的完全 Segal $\Theta_n$-空间和 $n$-重完全 Segal 空间）是否满足一组共同的结构公理？
• RQ3 不同 $(\infty,n)$-范畴模型之间的等价关系是否可被刻画为在某个明确群作用下的唯一？
• RQ4 是否存在一个通用准则，用于判断两个 $(\infty,n)$-范畴模型范畴之间的 Quillen 伴随是否为 Quillen 等价？
• RQ5 $(\infty,n)$-范畴的唯一性是否可通过在 $(\infty,n)$-范畴上的富集，推广至 $(\infty,n+1)$-范畴？

主要发现

• $(\infty,n)$-范畴理论的模空间为 $B(\mathbb{Z}/2)^n$，意味着任意两个此类理论之间的等价关系空间连通且基本群为 $(\mathbb{Z}/2)^n$，因此等价关系在该群作用下唯一。
• 所有已知的 $(\infty,n)$-范畴模型——包括 Rezk 的完全 Segal $\Theta_n$-空间、$n$-重完全 Segal 空间、$n$-相对范畴，以及 $(\infty,n-1)$-范畴中的完全 Segal 空间对象——均满足这五个公理，从而以规范方式确认其等价性。
• 唯一性定理意味着 $(\infty,n)$-范畴的 $(\infty,n+1)$-范畴也是唯一的，因为通过 Gepner 和 Haugseng 的结果，富集于 $(\infty,n)$-范畴的范畴构成 $(\infty,n+1)$-范畴的模型。
• 建立了一个识别准则：两个 $(\infty,n)$-范畴模型范畴之间的 Quillen 伴随是 Quillen 等价，当且仅当左导出函子保持细胞（即 $k$-细胞 $C_k$）模弱等价。
• Segal $n$-范畴与 $n$-重完全 Segal 空间之间的标准 Quillen 伴随是 Quillen 等价，因为其导出函子保持细胞。
• 注入型和投影型的 $\Theta_n$-富集 Segal 范畴的模型范畴，以及 $\Theta_n$-空间富集范畴的模型范畴，彼此之间均为 Quillen 等价，因此均模型化 $(\infty,n)$-范畴。