[论文解读] Fighting fish and two-stack sortable permutations

Wenjie Fang|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2017

Biochemical and Structural Characterization参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文建立了战斗鱼与二栈可排序排列之间的递归双射，首次为这两类对象的等计数性提供了组合解释。该双射保持了关键统计量，如上升、下降、左到右最大值，以及在栈排序像中位于其前驱之前的元素数量，从而为先前通过生成函数推导出的精细计数结果提供了双射证明。

ABSTRACT

In 2017, Duchi, Guerrini, Rinaldi and Schaeffer proposed a new family of combinatorial objects called "fighting fish", which are counted by the same formula as more classical objects, such as two-stack sortable permutations and non-separable planar maps. In this article, we explore the bijective aspect of fighting fish by establishing a bijection to two-stack sortable permutations, using a new recursive decomposition of these permutations. With our bijection, we give combinatorial explanations of several results on fighting fish proved previously with generating functions. Using the decomposition of two-stack sortable permutations, we also prove the algebraicity of their generating function, extending a result of Bousquet-Mélou (1998).

研究动机与目标

• 为战斗鱼与二栈可排序排列的等计数性提供组合解释，此前该结果仅通过生成函数证明。
• 通过建立与二栈可排序排列的基础双射，解决Duchi等人（2017b）提出的关于战斗鱼与左三叉树之间精细双射的开放猜想。
• 提供一种二栈可排序排列的递归分解，其结构与已知的战斗鱼递归结构相匹配，从而实现直接的双射构造。
• 通过比以往工作更简单的函数方程，证明二栈可排序排列的精细生成函数的代数性。
• 通过显式双射，将战斗鱼嵌入到由同一公式计数的更广泛组合对象网络中，包括非可分平面图和广义Tamari区间。

提出的方法

• 基于最大元素的位置和栈排序过程的结构，引入一种二栈可排序排列的新递归分解。
• 证明该分解与Duchi等人（2017b）定义的战斗鱼递归分解同构，从而实现递归双射φ。
• 通过递归地将二栈可排序排列的左、右子树映射到战斗鱼的左、右分量，构建双射φ。
• 使用形式概念组合学与函数方程，建模编码多种统计量的生成函数T(t,x,u,v;p,q,s)：左/右下部自由边数、fin长度，以及在栈像中位于其前驱之前的元素数。
• 通过涉及专门化级数T_abc的方程组，证明该生成函数为代数函数，关键步骤是求解T_011的二次方程。
• 该方法通过使用最少的方程组和二次方法，避免了复杂的生成函数运算，相比Bousquet-Mélou（1998）的工作，更简化了代数性的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在战斗鱼与二栈可排序排列之间建立一个双射对应，使其保持关键组合统计量，如上升、下降、左到右最大值，以及在栈像中位于其前驱之前的元素数？
• RQ2 是否可以证明二栈可排序排列的生成函数在引入多个统计量后仍为代数函数，且其函数方程比以往已知的更简单？
• RQ3 二栈可排序排列的递归结构是否允许一种分解方式，使其与战斗鱼的递归分解相匹配，从而实现直接双射？
• RQ4 此前通过生成函数证明的关于战斗鱼与左三叉树的精细等计数结果，能否通过此双射获得组合解释？
• RQ5 该双射能否被扩展或与其他已知双射组合，以研究相关对象（如非可分平面图或广义Tamari区间）的更深层次结构特性？

主要发现

• 构建了二栈可排序排列与战斗鱼之间的递归双射φ，保持左、右下部自由边数、fin长度，以及在栈像中位于其前驱之前的元素数。
• 具有n+1个下部自由边的战斗鱼数量由公式 2/(n+1)(3n+1) * C(3n+1,n) 给出，与长度为n的二栈可排序排列的数量一致。
• 编码二栈可排序排列上多种统计量的生成函数T(t,x,u,v;p,q,s)通过新递归分解导出的方程组被证明为代数函数。
• 该生成函数的函数方程比Bousquet-Mélou（1998）的工作更简单，仅含一个差分项，从而实现了代数性更直接的证明。
• 该双射通过统计量的传递，为非可分平面图中顶点与面之间的对称性提供了组合解释，借助图对偶性实现。
• 该方法通过显式且结构化的双射，将战斗鱼确立为由同一公式计数的组合对象网络的一部分，包括非可分平面图和左三叉树。