[论文解读] Fighting Fish: enumerative properties

Enrica Duchi, Veronica Guerrini+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文提出了一种关于战斗鱼（fighting fish）的新型分解方法——一种由45°旋转的单位正方形胶合而成的组合结构——并建立了具有 i 个左下自由边和 j 个右下自由边的战斗鱼数量的精确公式。关键结果是一个闭式表达式，其与根非可分地图及双栈可排序排列等其他组合对象中的已知计数一致，尽管尚未找到显式的双射。

ABSTRACT

Fighting fish were very recently introduced by the authors as combinatorial structures made of square tiles that form two dimensional branching surfaces. A main feature of these fighting fish is that the area of uniform random fish of size $n$ scales like $n^{5/4}$ as opposed to the typical $n^{3/2}$ area behavior of the staircase or direct convex polyominoes that they generalize. In this extended abstract we concentrate on enumerative properties of fighting fish: in particular we provide a new decomposition and we show that the number of fighting fish with $i$ left lower free edges and $j$ right lower free edges is equal to \begin{equation*} \frac{(2i+j-2)!(2j+i-2)!}{i!j!(2i-1)!(2j-1)!}. \end{equation*} These numbers are known to count rooted planar non-separable maps with $i+1$ vertices and $j+1$ faces, or two-stack-sortable permutations with respect to ascending and descending runs, or left ternary trees with respect to vertices with even and odd abscissa. However we have been unable until now to provide any explicit bijection between our fish and such structures. Instead we provide new refined generating series for left ternary trees to prove further equidistribution results.

研究动机与目标

• 探索战斗鱼这一新型二维组合结构的计数性质，该结构是定向多格骨牌的推广。
• 发展一种改进的分解方法，扩展‘细腰’方法，以根据结构参数分析战斗鱼。
• 建立关于左、右下自由边数量、鳍长及尾数的战斗鱼数量的精确公式。
• 研究战斗鱼与其他组合对象（如根非可分地图和双栈可排序排列）之间的深层联系。
• 提出一个关于战斗鱼与左三叉树在多个参数下等分布的猜想，并寻求双射证明。

提出的方法

• 基于细腰原理提出战斗鱼的新分解方法，实现从中心组件出发的递归构造。
• 利用左/右下自由边、鳍长及尾数等参数，推导战斗鱼的精细生成函数。
• 通过涉及系列 T(u)、B(u) 和 X 的代数系统对生成函数进行参数化，其与三叉树的已知生成函数相关联。
• 利用函数方程与级数恒等式，证明左三叉树在核心大小为 k 且节点横坐标奇偶性匹配时的生成函数，与战斗鱼的生成函数一致。
• 借助 Di Francesco 和 Kuba 关于 j-正则树及生成函数的已知结果，推导出显式表达式。
• 通过检查函数方程及幂级数展开中的系数匹配，验证生成函数的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有 i 个左下自由边和 j 个右下自由边的战斗鱼的确切数量是多少？
• RQ2 战斗鱼的生成函数与左三叉树及根非可分地图的生成函数有何关系？
• RQ3 能否通过显式双射证明战斗鱼与左三叉树之间的等分布？
• RQ4 鳍长与尾数在战斗鱼的精细计数中起什么作用？
• RQ5 是否存在战斗鱼与左三叉树公式的一个共同推广，能够同时考虑大小、鳍长、尾数及横坐标奇偶性？

主要发现

• 具有 i 个左下自由边和 j 个右下自由边的战斗鱼数量为 (2i+j−2)!(2j+i−2)! / (i!j!(2i−1)!(2j−1)!），与根非可分地图及双栈可排序排列中的计数完全一致。
• 战斗鱼关于大小与鳍长的生成函数，被证明与左三叉树关于核心大小与节点横坐标奇偶性的生成函数一致。
• 推论 3 建立了直接的等分布关系：具有 n 个顶点和 k 个核心节点的左三叉树的数量，等于大小为 n 且鳍长为 k 的战斗鱼的数量。
• 本文为生成函数 T_j(u) 提供了一个函数方程系统，该系统推广了关于 j-正则树的已知结果，并与组合模型保持一致。
• 提出一个猜想：战斗鱼的完整联合分布（按大小、鳍长、尾数及左右自由边数）与左三叉树关于核心大小、右分支数及横坐标奇偶性的分布一致。
• 尽管生成函数与等分布关系提供了强有力的证据，但目前尚未构造出战斗鱼与相应组合结构之间的显式双射。