[论文解读] Financial markets with volatility uncertainty

Joerg Vorbrink|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文利用 G-期望與 G-布朗運動，在波動率不確定的條件下建立金融市場模型，為不完全市場中歐式衍生品的定價與對沖提供了一個數學上一致的框架。主要貢獻在於推導出衍生品無套利定價區間，並在馬可夫設定下得出明確結果。

ABSTRACT

We investigate financial markets under model risk caused by uncertain volatilities. For this purpose we consider a financial market that features volatility uncertainty. To have a mathematical consistent framework we use the notion of G-expectation and its corresponding G-Brownian motion recently introduced by Peng (2007). Our financial market consists of a riskless asset and a risky stock with price process modeled by a geometric G-Brownian motion. We adapt the notion of arbitrage to this more complex situation and consider stock price dynamics which exclude arbitrage opportunities. Due to volatility uncertainty the market is not complete any more. We establish the interval of no-arbitrage prices for general European contingent claims and deduce explicit results in a Markovian setting.

研究动机与目标

• 在波動率無法精確得知但處於有界區間內的情境下建模金融市場。
• 利用 G-期望與 G-布朗運動建立數學上一致的框架，以處理因波動率不確定性所產生的模型風險。
• 將套利概念適應於具有波動率不確定性的市場，並確保無套利條件得以維持。
• 在該框架下，確定一般歐式衍生品的無套利定價區間。
• 在馬可夫設定下推導出明確的定價公式，以支援實際計算與對沖策略。

提出的方法

• 使用 Peng (2007) 提出的 G-期望與 G-布朗運動來建模波動率不確定性，其中過程的二次變異量處於範圍 $[\underline{\sigma}^2, \overline{\sigma}^2]$ 內。
• 將股票價格過程建模為幾何 G-布朗運動：$ dS^\sigma_t = rS^\sigma_t dt + \sigma_t S^\sigma_t dB_t $，其中 $ \sigma_t \in [\underline{\sigma}, \overline{\sigma}] $。
• 將先驗概率集 $ \mathcal{P} $ 定義為彼此 singular 的測度，反映其相對於參考測度缺乏絕對連續性，從而避免傳統多先驗模型在技術與經濟上的限制。
• 應用 G-伊藤微積分定義隨機積分與二次變異過程，其中在 G-期望下 $ \langle B \rangle_t $ 服從 $ N([\underline{\sigma}^2 t, \overline{\sigma}^2 t] \times \{0\}) $ 分佈。
• 應用 G-期望下的鞅表示定理：任何 G-鞅 $ X_t = E_G(\xi | \mathcal{F}_t) $ 皆可唯一分解為 $ X_t = X_0 + \int_0^t z_s dB_s - K_t $，其中 $ -K_t $ 為 G-鞅。
• 透過條件 $ E_G(M_t | \mathcal{F}_s) = M_s $ 對 G-鞅進行特徵化，並證明 $ M_t = x + \int_0^t z_s dB_s + \int_0^t \eta_s d\langle B \rangle_s - \int_0^t 2G(\eta_s) ds $ 為 G-鞅。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用隨機微積分在波動率不確定的情境下一致地建模金融市場？
• RQ2 在波動率模糊的市場中，何種套利概念是合適的？
• RQ3 在波動率不確定性下，歐式衍生品的無套利定價區間如何產生？
• RQ4 G-期望與 G-布朗運動在捕捉波動率模糊性方面扮演何種角色？
• RQ5 如何將鞅表示定理擴展至 G-框架，以支援對沖與定價？

主要发现

• 由於波動率不確定性，市場變得不完全，因為 G-布朗運動無法產生唯一的機率測度。
• 歐式衍生品的無套利定價區間由 $ \sup_{P \in \mathcal{P}} E^P(H_T \gamma_T^{-1}) $ 與 $ \sup_{P \in \mathcal{P}} E^P(-H_T \gamma_T^{-1}) $ 給出，反映出最壞與最佳情況下的預期折現收益。
• 對於馬可夫型衍生品，可利用 G-期望框架與鞅表示定理推導出明確的定價公式。
• 二次變異過程 $ \langle B \rangle_t $ 並非幾乎必然為常數，而是服從 $[\underline{\sigma}^2 t, \overline{\sigma}^2 t] $ 的分佈，從而捕捉波動率的不確定性。
• 過程 $ -K_t = \int_0^t \eta_s d\langle B \rangle_s - \int_0^t 2G(\eta_s) ds $ 為 G-鞅，此為非經典特性，因其漂移修正中缺乏二次變異項。
• G-鞅表示定理確保任何 $ \mathcal{F}_t $-可測的衍生品 $ \xi $ 均可唯一分解為 G-伊藤積分與一非遞減補償項 $ K_t $，進而支援在波動率模糊性下的對沖策略。