[论文解读] Financial Valuation of Mortality Risk via the Instantaneous Sharpe Ratio: Applications to Pricing Pure Endowments
本文提出了一种基于风险的定价框架，用于死亡率相关索赔（如纯粹生存保险）的定价，使用瞬时夏普比率来定价不完全市场中不可分散的随机死亡率风险。研究发现，即使在无限多份合同的情况下，若危险率是随机的，仍存在正的风险溢价，反映出不可分散的系统性风险。
We develop a theory for pricing non-diversifiable mortality risk in an incomplete market. We do this by assuming that the company issuing a mortality-contingent claim requires compensation for this risk in the form of a pre-specified instantaneous Sharpe ratio. We prove that our ensuing valuation formula satisfies a number of desirable properties. For example, we show that it is subadditive in the number of contracts sold. A key result is that if the hazard rate is stochastic, then the risk-adjusted survival probability is greater than the physical survival probability, even as the number of contracts approaches infinity.
研究动机与目标
- 解决传统精算方法的局限性，即假设通过大数定律实现完全分散化。
- 在死亡率风险无法完全对冲的不完全市场中，建立纯粹生存保险的定价模型。
- 将随机死亡率风险（即危险率服从随机过程）作为不可分散风险组成部分进行建模。
- 开发一个通过瞬时夏普比率体现投资者风险厌恶的估值框架。
- 将总风险溢价分解为有限组合风险与随机死亡率风险两个部分。
提出的方法
- 假设保险公司要求一个预先指定的瞬时夏普比率，作为承担死亡率风险的补偿。
- 将危险率建模为均值回归扩散过程，并引入随机波动率：$ d\tilde{\lambda}_t = a dt + b(\tilde{\lambda}_t - \underline{\lambda}) dW^\lambda_t $。
- 利用Feynman-Kac定理推导出风险调整后生存概率的非线性偏微分方程，并通过变换将其转化为线性偏微分方程求解。
- 将风险溢价定义为实际价格与风险中性价格之差，并分解为有限组合风险与随机死亡率风险两部分。
- 将该理论应用于纯粹生存保险，其收益取决于在到期时间T时仍存活。
- 使用表达式 $ P^{(n)} = F \varphi^{(n)} $ 和 $ P^{\alpha 0} = F \varphi^{\alpha 0} $，其中 $ \varphi^{\alpha 0} $ 满足涉及夏普比率的偏微分方程。
实验结果
研究问题
- RQ1在对冲不顺畅的不完全市场中，如何对死亡率风险进行定价？
- RQ2当危险率是随机的时，随着保单数量趋于无穷大，每份保单的风险溢价会发生什么变化？
- RQ3瞬时夏普比率能否用于推导出纯粹生存保险的一致且具有经济意义的定价公式？
- RQ4风险溢价如何分解为有限组合风险与随机死亡率风险？
- RQ5当危险率是随机的时，在大组合的极限下，风险溢价是否会消失？
主要发现
- 每份保单的风险溢价随合同数量增加而呈现次可加性，满足一致风险度量的关键性质。
- 当危险率是确定性时，随着合同数量趋于无穷大，每份保单的风险溢价趋于零，与分散化一致。
- 当危险率是随机的时，即使在无限合同的极限下，每份保单的风险溢价仍为正，表明存在不可分散风险。
- 当波动率参数 $ b > 0 $ 时，随机死亡率风险溢价严格为正，仅当 $ b = 0 $ 时为零，证实了系统性风险的存在。
- 即使在大规模组合中，当危险率是随机的时，风险调整后的生存概率也高于实际生存概率。
- 总风险溢价可清晰地分解为两部分：一部分源于有限组合规模，另一部分源于随机死亡率，后者在渐近情况下依然持续存在。
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本解读由 AI 生成，并经人工编辑审核。