[论文解读] Finding large induced sparse subgraphs in $C_{>t}$-free graphs in quasipolynomial time

Peter Gartland, Daniel Lokshtanov+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文提出了一种准多项式时间算法，用于在 C>t-自由图（即不包含长度超过 t 个顶点的诱导环的图）中寻找最大权值的诱导子图，这些子图满足 d-非稠密性且具有给定的 CMSO2 性质。该方法利用结构分离器，并在有界大小的子图上构建一种新颖的动态规划框架，对 C>t-自由图实现 n^O(log³n) 时间复杂度，对 Pt-自由图实现 n^O(log²n) 时间复杂度，显著推广了此前关于最大权独立集和诱导森林等问题的研究结果。

ABSTRACT

For an integer $t$, a graph $G$ is called {\em{$C_{>t}$-free}} if $G$ does not contain any induced cycle on more than~$t$ vertices. We prove the following statement: for every pair of integers $d$ and $t$ and a CMSO$_2$ statement~$\phi$, there exists an algorithm that, given an $n$-vertex $C_{>t}$-free graph $G$ with weights on vertices, finds in time $n^{O(\log^4 n)}$ a maximum-weight vertex subset $S$ such that $G[S]$ has degeneracy at most $d$ and satisfies $\phi$. The running time can be improved to $n^{O(\log^2 n)}$ assuming $G$ is $P_t$-free, that is, $G$ does not contain an induced path on $t$ vertices. This expands the recent results of the authors [to appear at FOCS 2020 and SOSA 2021] on the {\sc{Maximum Weight Independent Set}} problem on $P_t$-free graphs in two directions: by encompassing the more general setting of $C_{>t}$-free graphs, and by being applicable to a much wider variety of problems, such as {\sc{Maximum Weight Induced Forest}} or {\sc{Maximum Weight Induced Planar Graph}}.

研究动机与目标

• 填补在稀疏图类中，除独立集外，诱导子图问题的可有效算法研究空白。
• 将准多项式时间算法从 Pt-自由图推广至更广泛的 C>t-自由图类，该类包含弦图及其他稀疏图族。
• 统一多种问题（如最大权诱导森林和诱导平面图）于单一算法框架之下。
• 为在稀疏图类中求解具有退化性与逻辑约束的最大权诱导子图问题提供通用方法。
• 为具有次线性分离器的遗传图类建立准多项式时间近似方案（QPTAS）的基础。

提出的方法

• 利用 C>t-自由图的平衡分离定理，该定理保证存在一个至多包含 t 个顶点的连通集合 X，其移除后剩余连通分量的大小不超过原图的一半。
• 基于分离器应用递归分解策略以减小问题规模，利用 C>t-自由图具有次线性分离器的性质。
• 定义并求解最大诱导打包问题，目标是从未给定家族 F 中选择顶点互不相交的连通子图，以最大化总权重。
• 构造所有大小不超过 dt（d 为退化度）且满足给定 CMSO2 性质 ϕ 的连通诱导子图的集合 F，并根据顶点数或总权重分配权重。
• 在 F 中的子图上使用动态规划，利用此类子图数量在稀疏图类中为 n^O(1) 的事实。
• 在移除分离器邻域后，对各连通分量递归应用该算法，通过递归深度为对数级，确保准多项式时间复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Pt-自由图中最大权独立集的准多项式时间算法推广至 C>t-自由图？
• RQ2 在 C>t-自由图中，寻找满足给定逻辑性质 ϕ 的 d-非稠密诱导子图的最大权值问题的计算复杂度是多少？
• RQ3 求解 MWIS 的框架能否扩展至稀疏图类中的其他问题，如最大权诱导森林或诱导平面图？
• RQ4 结构性质如次线性分离器与弱双有界性如何与诱导子图问题的 QPTAS 存在性相关联？
• RQ5 CMSO2 逻辑在表达和求解稀疏图类中广泛的一类诱导子图问题中扮演何种角色？

主要发现

• 本文提出了一种算法，可在 n^O(log³n) 时间内求解 C>t-自由图中满足给定 CMSO2 句子 ϕ 的最大权诱导 d-非稠密子图问题。
• 对于 Pt-自由图，运行时间优化为 n^O(log²n)，与最大权独立集问题的最佳已知界限一致。
• 该框架适用于多种问题，包括最大权诱导森林和最大权诱导平面图，通过 CMSO2 逻辑表达实现。
• 当 C 是在顶点删除和不相交并运算下封闭的弱双有界类时，为 C>t-自由图中的最大诱导 C-图问题建立了 QPTAS。
• 在 P6-自由图和 C>4-自由图中，该问题获得了多项式时间算法，表明该框架能根据图类的不同，同时捕捉准多项式与多项式时间可解性。