[论文解读] Finding monotone patterns in sublinear time

Omri Ben‐Eliezer, Clément L. Canonne+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 38被引用 4

一句话总结

该论文确定了在函数 $f:[n] \to \mathbb{R}$ 距离 $(12\dots k)$-自由函数 $\varepsilon$-远时，寻找长度为 $k$ 的单调子序列的最优非自适应查询复杂度。论文提出了一种新颖的结构分解方法，利用二进制轮廓和树描述符，证明了紧致的 $\Theta((\log n)^{\lfloor \log_2 k \rfloor})$ 查询复杂度，显著改进了先前的界，并解决了这一子线性时间模式查找问题的复杂度。

ABSTRACT

We study the problem of finding monotone subsequences in an array from the viewpoint of sublinear algorithms. For fixed $k \in \mathbb{N}$ and $\varepsilon > 0$, we show that the non-adaptive query complexity of finding a length-$k$ monotone subsequence of $f \colon [n] o \mathbb{R}$, assuming that $f$ is $\varepsilon$-far from free of such subsequences, is $Θ((\log n)^{\lfloor \log_2 k floor})$. Prior to our work, the best algorithm for this problem, due to Newman, Rabinovich, Rajendraprasad, and Sohler (2017), made $(\log n)^{O(k^2)}$ non-adaptive queries; and the only lower bound known, of $Ω(\log n)$ queries for the case $k = 2$, followed from that on testing monotonicity due to Ergün, Kannan, Kumar, Rubinfeld, and Viswanathan (2000) and Fischer (2004).

研究动机与目标

• 解决非自适应算法在寻找距离 $(12\dots k)$-自由函数 $\varepsilon$-远的函数中长度为 $k$ 的单调子序列的查询复杂度问题。
• 通过为所有固定的 $k\in\mathbb{N}$ 建立紧致界，弥合先前上界 $(\log n)^{O(k^2)}$ 与 $k=2$ 时唯一已知下界 $\Omega(\log n)$ 之间的差距。
• 通过二进制轮廓和树描述符，提出一种关于函数是否包含或避免单调子序列的新结构表征。
• 证明与上界匹配的下界，从而确立查询复杂度的最优性。

提出的方法

• 引入分层二进制轮廓系统，根据其单调性结构及递增对的位置对区间进行分类。
• 定义一个结构二分定理，根据其单调性行为将区间划分为“增长后缀”和“可分割区间”。
• 构建一个递归算法，通过遍历由二进制轮廓导出的描述符树，使用非自适应查询识别长度为 $k$ 的单调子序列。
• 利用 Yao 的最小最大原理进行匹配的下界论证，分析在精心构造的函数分布下，随机查询集捕获单调副本的概率。
• 利用最大匹配值 $M(x,y)$ 的唯一性，确保不存在三元组 $x<y<z$ 满足 $M(x,y)=M(y,z)$，从而防止子结构中出现虚假单调性。
• 证明每个构造的函数 $f_{i_1,\dots,i_h}$ 包含 $n/k$ 个不相交的 $(12\dots k)$-副本，从而保证与 $(12\dots k)$-自由函数的 $\varepsilon$-远距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 在函数 $f:[n] \to \mathbb{R}$ 距离 $(12\dots k)$-自由函数 $\varepsilon$-远时，寻找长度为 $k$ 的单调子序列的最优非自适应查询复杂度是多少？
• RQ2 对于具有单边错误的非自适应算法，查询复杂度能否优于 Newman 等人（2017 年）提出的 $O((\log n)^{k^2})$ 界？
• RQ3 查询复杂度中对 $n$ 的依赖是否紧致？若是，其精确渐近形式为何？
• RQ4 如何利用分层二进制轮廓和树描述符表征单调子序列的结构？
• RQ5 在 $\varepsilon$-远承诺下，保证以常数成功概率找到单调子序列所需的最少查询数是多少？

主要发现

• 在距离 $(12\dots k)$-自由函数 $\varepsilon$-远的函数中，寻找长度为 $k$ 的单调子序列的非自适应查询复杂度为 $\Theta\left((\log n)^{\lfloor \log_2 k \rfloor}\right)$，这是最优的。
• 上界通过一个非自适应算法实现，该算法进行 $O\left((\log n)^{\lfloor \log_2 k \rfloor} \cdot \mathrm{poly}(1/\varepsilon)\right)$ 次查询。
• 下界与上界匹配，证明对于固定的 $k$，没有非自适应算法能获得对 $n$ 更优的依赖关系。
• 在困难实例分布中的每个函数 $f_{i_1,\dots,i_h}$ 恰好包含 $n/k$ 个不相交的 $(12\dots k)$-副本，确保与 $(12\dots k)$-自由函数的 $\varepsilon$-远距离，其中 $\varepsilon = 1/k$。
• 通过二进制轮廓和树描述符进行的结构表征，使得能够通过分层分解递归构造，从而隔离单调子序列。
• 证明依赖于一种新颖的归纳论证，表明在构造的函数中，任何长度为 $k$ 的递增子序列必须具有唯一的最大匹配位置，从而防止重叠或虚假副本的出现。