[论文解读] Finding small separators in linear time via treewidth reduction

Dániel Marx, Barry O’Sullivan+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 45被引用 5

一句话总结

本文提出了一种保持所有大小不超过k的最小s−t分离集的树宽缩减技术，从而实现了多种分离集问题的线性时间固定参数可满足性（FPT）算法。通过将树宽减少为k的函数，该方法使得在满足非遗传性约束（如连通性或独立集）的情况下，也能通过Courcelle定理高效求解受限s−t割、多割及二分图化问题。

ABSTRACT

We present a method for reducing the treewidth of a graph while preserving all of its minimal $s-t$ separators up to a certain fixed size $k$. This technique allows us to solve $s-t$ Cut and Multicut problems with various additional restrictions (e.g., the vertices being removed from the graph form an independent set or induce a connected graph) in linear time for every fixed number $k$ of removed vertices. Our results have applications for problems that are not directly defined by separators, but the known solution methods depend on some variant of separation. for example, we can solve similarly restricted generalizations of Bipartization (delete at most $k$ vertices from $G$ to make it bipartite) in almost linear time for every fixed number $k$ of removed vertices. These results answer a number of open questions in the area of parameterized complexity. Furthermore, our technique turns out to be relevant for $(H,C,K)$- and $(H,C,\le K)$-coloring problems as well, which are cardinality constrained variants of the classical $H$-coloring problem. We make progress in the classification of the parameterized complexity of these problems by identifying new cases that can be solved in almost linear time for every fixed cardinality bound.

研究动机与目标

• 开发一种通用方法，对每个固定的参数k，以线性时间求解固定参数可满足性（FPT）分离集问题。
• 通过在树宽缩减过程中保持最小分离集，将FPT算法扩展至非遗传图性质。
• 解决参数复杂性中的开放问题，包括边诱导的点割问题与(H,C,≤K)-着色问题。
• 展示树宽缩减在具有全局性或非遗传性约束（如连通性或平衡性）的问题中的鲁棒性。
• 为满足基数与结构约束的多割、二分图化及同态问题提供统一框架。

提出的方法

• 在保持所有包含关系上最小的大小不超过k的s−t分离集的前提下，减少图的树宽。
• 采用两步过程：首先，识别一个能捕获所有小型分离集的小顶点集C′′；其次，将C′′外部的连通分量分别合并为每个分量至多两个顶点。
• 应用顶点包络操作与列表赋值，以保持在约简图上解的等价性。
• 在约简图上应用Courcelle定理，求解可用一阶二元逻辑（MSO）表达的问题。
• 使用分枝与列表修改技术，处理非二分图图与H-着色约束。
• 将树宽缩减与已知的FPT算法（如二分图化问题）结合，实现线性时间FPT结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 树宽缩减能否在将图缩减至有界树宽的同时，保持所有大小≤k的最小s−t分离集？
• RQ2 该技术能否扩展至连通性或诱导子图性质等非遗传性约束？
• RQ3 对于固定的k，EDGE-INDUCED VERTEX CUT问题是否为线性时间FPT？
• RQ4 对于固定的k和H，(H,C,K)-与(H,C,≤K)-着色问题能否在时间复杂度为线性的时间内求解？
• RQ5 该方法能否扩展以处理平衡性等全局约束或有向图？

主要发现

• 对于每个固定的k，MINIMUM STABLE s−t CUT问题可在线性时间内求解，其在遗传图类上的推广亦然。
• 对于ℓ个终端对且解集诱导出的图属于遗传类G的MULTICUT问题，其在参数k与ℓ下为线性时间FPT。
• 尽管连通性并非遗传性质，CONNECTED s−t CUT问题仍可通过特定问题的树宽缩减实现线性时间FPT。
• 对于固定的k，EDGE-INDUCED VERTEX CUT问题已在线性时间内解决，回答了2007年提出的开放问题。
• 对于每个固定的k与H，若图G的树宽有界，则(H,C,≤K)-着色问题可在线性时间内求解。
• 该方法通过将问题约简为有界树宽图并保持解的等价性，显著推广了FPT算法。