[论文解读] Finding the maximum eigenvalue of a class of tensors with applications in copositivity test and hypergraphs

Haibin Chen, Yannan Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2015

Tensor decomposition and applications被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种半定规划算法，通过利用结构化的平方和（SOS）分解，计算偶数阶对称W-张量的最大H-特征值——该类张量是非负张量和本质非负张量的推广。该方法实现了多项式时间计算，并成功应用于高效测试对称扩展Z-张量的共正性，以及计算超图中拉普拉斯张量的特征值，数值结果在维度高达10,000时表现良好。

ABSTRACT

Finding the maximum eigenvalue of a symmetric tensor is an important topic in tensor computation and numerical multilinear algebra. This paper is devoted to a semi-definite program algorithm for computing the maximum $H$-eigenvalue of a class of tensors with sign structure called $W$-tensors. The class of $W$-tensors extends the well-studied nonnegative tensors and essentially nonnegative tensors, and covers some important tensors arising naturally from spectral hypergraph theory. Our algorithm is based on a new structured sums-of-squares (SOS) decomposition result for a nonnegative homogeneous polynomial induced by a $W$-tensor. This SOS decomposition enables us to show that computing the maximum $H$-eigenvalue of an even order symmetric $W$-tensor is equivalent to solving a semi-definite program, and hence can be accomplished in polynomial time. Numerical examples are given to illustrate that the proposed algorithm can be used to find maximum $H$-eigenvalue of an even order symmetric $W$-tensor with dimension up to $10,000$. We present two applications for our proposed algorithm: we first provide a polynomial time algorithm for computing the maximum $H$-eigenvalues of large size Laplacian tensors of hyper-stars and hyper-trees; second, we show that the proposed SOS algorithm can be used to test the copositivity of a multivariate form associated with symmetric extended $Z$-tensors, whose order may be even or odd. Numerical experiments illustrate that our structured semi-definite program algorithm is effective and promising.

研究动机与目标

• 开发一种计算偶数阶对称W-张量最大H-特征值的多项式时间算法，该类张量扩展了非负张量和本质非负张量的范畴。
• 为由W-张量诱导的齐次多项式建立结构化的平方和（SOS）分解，从而实现半定规划的重述。
• 将所提出的算法应用于测试任意偶数或奇数阶对称扩展Z-张量的共正性。
• 计算大型超星形图与超树的拉普拉斯张量的最大H-特征值，这些在谱超图理论中具有重要意义。
• 在高维张量（高达维度10,000）上展示该算法的可扩展性与有效性。

提出的方法

• 利用一种新颖的结构化平方和（SOS）分解方法，处理与W-张量相关的齐次多项式，确保非负性并实现半定规划的重述。
• 将偶数阶对称W-张量的最大H-特征值计算问题重述为一个半定规划（SDP）问题，可在多项式时间内求解。
• 通过SOS分解表明，最大H-特征值对应于正定矩阵上的凸优化问题的最优值。
• 通过分析参数化SOS规划的最小值符号，将该算法应用于测试对称扩展Z-张量的共正性。
• 使用YALMIP和SeDuMi MATLAB求解器实现并测试半定规划，针对不同阶数与维度的随机生成张量进行实验。
• 通过参数M控制对角优势，构建具有可控对角优势的扩展Z-张量，以生成测试实例，并评估不同张量规模与阶数下的共正性比率。

实验结果

研究问题

• RQ1 偶数阶对称W-张量的最大H-特征值能否被高效计算，且该问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ2 是否存在一种结构化的平方和分解，用于与W-张量相关的齐次多项式，从而实现半定规划的重述？
• RQ3 所提出的算法能否用于测试偶数或奇数阶对称扩展Z-张量的共正性？
• RQ4 该算法在计算超星形图与超树的大型拉普拉斯张量最大H-特征值时，其可扩展性如何？
• RQ5 在构造扩展Z-张量时，参数M如何影响数值实验中观察到的共正性比率？

主要发现

• 得益于结构化的SOS分解，偶数阶对称W-张量的最大H-特征值可通过半定规划在多项式时间内计算。
• 该算法成功计算了维度高达10,000的张量的最大H-特征值，展现出极高的可扩展性。
• 对于对称扩展Z-张量，基于SOS的SDP共正性测试在对角优势参数M足够大时，成功率高达99%。
• 共正性实例的比例随M增大而上升：当m=3, n=2500时，共正性比例从M=11时的12%上升至M=16时的99%；在所有测试阶数与维度下均观察到类似趋势。
• 该方法实现了对超星形图与超树拉普拉斯张量最大H-特征值的高效计算，这些张量由于其组合结构，通常难以直接求解。
• 数值实验证实了该算法的有效性与潜力，对大规模实例表现出一致的收敛性与高精度。