[论文解读] SOS Tensor Decomposition: Theory and Applications

Haibin Chen, Guoyin Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 42被引用 5

一句话总结

本文证明了若干类偶数阶对称结构张量——如 $B_0$-张量、$H$-张量及扩展的 $Z$-张量——可进行和为平方（SOS）张量分解，从而可通过半定规划高效计算最小 $H$-特征值，并测试相关多元形式的正定性。本文为 SOS-秩与 SOS-宽度提供了紧确的上界，尤其针对指数有界的张量，并通过小规模至大规模问题的数值实验验证了该方法的有效性。

ABSTRACT

In this paper, we examine structured tensors which have sum-of-squares (SOS) tensor decomposition, and study the SOS-rank of SOS tensor decomposition. We first show that several classes of even order symmetric structured tensors available in the literature have SOS tensor decomposition. These include positive Cauchy tensors, weakly diagonally dominated tensors, $B_0$-tensors, double $B$-tensors, quasi-double $B_0$-tensors, $MB_0$-tensors, $H$-tensors, absolute tensors of positive semi-definite $Z$-tensors and extended $Z$-tensors. We also examine the SOS-rank of SOS tensor decomposition and the SOS-width for SOS tensor cones. The SOS-rank provides the minimal number of squares in the SOS tensor decomposition, and, for a given SOS tensor cone, its SOS-width is the maximum possible SOS-rank for all the tensors in this cone. We first deduce an upper bound for general tensors that have SOS decomposition and the SOS-width for general SOS tensor cone using the known results in the literature of polynomial theory. Then, we provide an explicit sharper estimate for the SOS-rank of SOS tensor decomposition with bounded exponent and identify the SOS-width for the tensor cone consisting of all tensors with bounded exponent that have SOS decompositions. Finally, as applications, we show how the SOS tensor decomposition can be used to compute the minimum $H$-eigenvalue of an even order symmetric extended $Z$-tensor and test the positive definiteness of an associated multivariate form. Numerical experiments are also provided to show the efficiency of the proposed numerical methods ranging from small size to large size numerical examples.

研究动机与目标

• 确定关键类结构张量是否可进行和为平方（SOS）张量分解。
• 分析 SOS-秩与 SOS-宽度，尤其针对指数有界的张量所构成的 SOS 张量锥。
• 开发高效数值方法，用于计算与结构张量相关的多元形式的最小 $H$-特征值，并测试其正定性。
• 在指数有界张量锥的背景下，提供 SOS-秩与 SOS-宽度的显式、紧确上界。

提出的方法

• 证明当偶数阶且对称时，多种结构张量——包括正柯西张量、弱对角占优张量、$B_0$-张量、双 $B$-张量、准双 $B_0$-张量、$MB_0$-张量、$H$-张量及扩展 $Z$-张量——可进行 SOS 分解。
• 将 SOS-秩定义为关联齐次多项式 SOS 分解中平方项的最小数量，SOS-宽度定义为给定张量锥上 SOS-秩的最大值。
• 利用多项式理论中的已知结果推导一般 SOS 张量分解的上界，随后针对指数有界的张量进行优化。
• 将 SOS-秩计算建模为在正半定矩阵约束下的秩优化问题。
• 通过 YALMIP 与 SDPNAL 应用半定规划（SDP）求解 $H$-特征值问题的 SOS 松弛。
• 构建具有受控对角占优性的扩展 $Z$-张量数值测试实例，以验证正定性测试的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 偶数阶对称结构张量（如 $B_0$-张量与 $H$-张量）是否可进行和为平方（SOS）张量分解？
• RQ2 所有可进行 SOS 分解的偶数阶对称张量中，指数有界的张量锥的精确 SOS-宽度是多少？
• RQ3 能否显式且紧确地估计指数有界的结构张量的 SOS-秩？
• RQ4 SOS 张量分解能否用于高效计算扩展 $Z$-张量的最小 $H$-特征值？
• RQ5 所提出的方法能否可靠地测试与扩展 $Z$-张量相关的多元形式的正定性？

主要发现

• 若干类结构张量——包括 $B_0$-张量、$H$-张量及扩展 $Z$-张量——在偶数阶且对称时可进行 SOS 张量分解。
• 张量的 SOS-秩等于在正半定矩阵约束下秩优化问题的最优值。
• 针对指数有界的张量，推导出 SOS-秩的紧确显式上界，并确定了相应张量锥的精确 SOS-宽度。
• SOS 分解使得通过多项式优化与半定规划高效计算最小 $H$-特征值成为可能。
• 数值实验表明，在 100 个随机实例中，包括 $n=100$ 且 $m=4,6$ 的大规模问题，正定性识别的正确率达到 100%。
• 该方法成功处理从小规模到大规模的问题，通过 SDPNAL 与 YALMIP 实现 SDP 重构，展现出良好的可扩展性与鲁棒性。