[论文解读] Fine-grained analysis and improved robustness of quantum supremacy for random circuit sampling

Yasuhiro Kondo, Ryuhei Mori+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2021

Machine Learning and Algorithms被引用 6

一句话总结

该论文在多项式层级不坍塌的假设下，证明了在指数级小的加法误差范围内估计随机量子线路输出概率对经典计算机而言是困难的。它通过 BPP^NP 归约证明该问题为 #P-难问题，且对常数深度和 √n 深度线路得出了更紧的界限，使用了超越标准方法（如 Berlekamp–Welch 或 Paturi 引理）的新技术。

ABSTRACT

We prove under the complexity theoretical assumption of the non-collapse of the polynomial hierarchy that estimating the output probabilities of random quantum circuits to within $\exp(-\Omega(m\log m))$ additive error is hard for any classical computer, where $m$ is the number of gates in the quantum computation. More precisely, we show that the above problem is $\#\mathsf{P}$-hard under $\mathsf{BPP}^{\mathsf{NP}}$ reduction. In the recent experiments, the quantum circuit has $n-$qubits and the architecture is a two-dimensional grid of size $\sqrt{n} imes\sqrt{n}$. Indeed for constant depth circuits estimating the output probabilities to within $2^{-\Omega(n\log{n})}$ is hard, and for circuits of depth $\sqrt{n}$, for which the anti-concentration property holds, estimating the output probabilities to within $2^{-\Omega(n^{3/2}\log n)}$ is hard. We prove these results from first principles and do not use the standard techniques such as the Berlekamp--Welch algorithm, the usual Paturi's lemma, and Rakhmanov's result.

研究动机与目标

• 为随机线路采样中的量子优越性建立更强的复杂性理论基础。
• 证明在小的加法误差范围内估计随机量子线路输出概率对经典计算机是困难的。
• 为特定线路架构（包括常数深度和 √n 深度线路）推导出估计难度的更紧界限。
• 避免依赖标准工具（如 Berlekamp–Welch 或 Paturi 引理），转而从第一性原理出发开发新的分析技术。

提出的方法

• 作者使用复杂性理论归约，特别是 BPP^NP 归约，证明在 exp(−Ω(m log m)) 加法误差范围内估计输出概率是 #P-难的。
• 他们分析了在二维 √n × √n 网格架构上、具有 n 个量子比特和不同线路深度的随机量子线路。
• 对于常数深度线路，他们证明在 2^−Ω(n log n) 误差范围内的概率估计是困难的。
• 对于深度为 √n 的线路（此时反浓度性质成立），他们证明在 2^−Ω(n^{3/2} log n) 误差范围内的估计是困难的。
• 该证明从第一性原理构建，避免使用标准工具如 Berlekamp–Welch 算法和 Rakhmanov 的结果。
• 该分析依赖于随机量子线路及其输出分布的结构性质，并在复杂性理论假设下进行。

实验结果

研究问题

• RQ1 在指数级小的加法误差范围内估计随机量子线路输出概率是否对经典计算机是困难的？
• RQ2 能否为常数深度或 √n 深度等特定线路架构推导出更紧的估计难度界限？
• RQ3 能否在不依赖标准技术（如 Berlekamp–Welch 或 Paturi 引理）的前提下建立此类困难性结果？
• RQ4 线路深度、反浓度性质与经典模拟复杂性之间的确切关系是什么？

主要发现

• 在多项式层级不坍塌的假设下，通过 BPP^NP 归约，可在 exp(−Ω(m log m)) 加法误差范围内证明估计随机线路输出概率是 #P-难的。
• 对于常数深度量子线路，若误差范围为 2^−Ω(n log n)，则概率估计是困难的，其中 n 为量子比特数。
• 对于深度为 √n 的线路（反浓度性质成立），若误差范围为 2^−Ω(n^{3/2} log n)，则概率估计是困难的。
• 结果从第一性原理推导得出，未使用标准工具如 Berlekamp–Welch 算法或 Paturi 引理。
• 该分析确认了在更强复杂性理论假设下，随机线路采样中量子优越性的稳健性。