[论文解读] Finitary birepresentations of finitary bicategories

Marco Mackaay, Volodymyr Mazorchuk+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文将有限型2-表示理论推广至有限型双范畴的有限型双表示，通过细胞理论建立了双表示2-范畴与子商之间的双等价关系。它证明了双等价版本的双重中心化定理，通过余代数、余模和内部同调构造，将2-范畴中的基础结果扩展至双范畴，应用于索尔杰尔双模并实现了对简单殆纯双表示的分类。

ABSTRACT

In this paper, we discuss the generalization of finitary $2$-representation theory of finitary $2$-categories to finitary birepresentation theory of finitary bicategories. In previous papers on the subject, the classification of simple transitive $2$-representations of a given $2$-category was reduced to that for certain subquotients. These reduction results were all formulated as bijections between equivalence classes of $2$-representations. In this paper, we generalize them to biequivalences between certain $2$-categories of birepresentations. Furthermore, we prove an analog of the double centralizer theorem in finitary birepresentation theory.

研究动机与目标

• 将有限型2-表示理论扩展至更广泛的有限型双范畴框架，其中严格2-范畴对某些例子（如索尔杰尔双模）过于受限。
• 通过将还原结果以双表示2-范畴之间的双等价形式表述，将2-表示的还原结果推广至双表示。
• 在有限型双表示的背景下，建立双重中心化定理的双等价类比。
• 系统处理双范畴中的余代数、余模和内部同调，以实现对简单殆纯双表示的分类。

提出的方法

• 使用细胞理论和弱Jordan–Hölder滤子，将简单殆纯双表示的分类问题约化为双范畴的子商。
• 在双范畴中应用Morita–Takeuchi理论，将双表示与余代数上的余模关联起来。
• 在双范畴中构造内部同调函子[X, Y]，以定义对偶并建立伴随关系。
• 利用双模的余张量积和伪函子，将双范畴的结构提升至双模范畴。
• 证明从双范畴到余代数上内射双模范畴的典范伪函子，当限制在add(H)时，对1-态射是全忠实且本质满射的。
• 使用结合律图（五边形图、三角图、交换图）验证伴随关系和双等价构造中的自然性与交换性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将简单殆纯2-表示的分类从2-范畴推广至双范畴？
• RQ2 在有限型双表示理论中，双重中心化定理的类比形式是什么？
• RQ3 双范畴中的余代数与余模如何支持双表示及其约化的构造？
• RQ4 细胞结构与双范畴中的子商以何种方式使分类问题可约化为更小、可管理的组成部分？
• RQ5 在何种条件下，从双范畴到其双模范畴的典范伪函子构成双等价？

主要发现

• 弱Jordan–Hölder定理可直接推广至有限型双表示的有限型双范畴，确保其通过简单殆纯子商进行滤子分解。
• 通过细胞理论，简单殆纯双表示的分类可约化为子商，其中顶点对应于最大非消去的两面双细胞。
• 在双范畴的双表示2-范畴与余代数上内射双模的2-范畴之间建立了双等价，推广了双重中心化定理。
• 内部同调构造[X, Y]同构于右对偶Y⋆X，且C⋆C上的余代数结构与原始双范畴中的结构相容。
• 典范伪函子can: C^H → (C⋆C)BiinjBM(C⋆C)在限制到add(H)时，对2-态射是全忠实的，且对1-态射是本质满射的，从而确立了双等价。
• 双等价的证明依赖于结合律公理、结合子与单位子的自然性，以及协轭与评价映射的Z字关系。