[论文解读] Finite difference/spectral approximations for the two-dimensional time Caputo-Fabrizio fractional diffusion equation

Yu Fan, Minghua Chen|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对二维时间Caputo-Fabrizio分数阶扩散方程的三阶精度、无条件稳定的有限差分/谱方法。通过在时间方向采用三阶有限差分法，结合谱空间离散化，该方法实现了全局截断误差为$\mathcal{O}(τ^3 + N^{-m})$，这是该背景下三阶格式稳定性证明的首次实现。

ABSTRACT

The main contribution of this work is to construct and analyze stable and high order schemes to efficiently solve the two-dimensional time Caputo-Fabrizio fractional diffusion equation. Based on a third-order finite difference method in time and spectral methods in space, the proposed scheme is unconditionally stable and has the global truncation error $\mathcal{O}(τ^3+N^{-m})$, where $τ$, $N$ and $m$ are the time step size, polynomial degree and regularity in the space variable of the exact solution, respectively. It should be noted that the global truncation error $\mathcal{O}(τ^2+N^{-m})$ is well established in [ Li, Lv and Xu, {\em Numer. Methods Partial Differ. Equ}. (2019)]. Finally, some numerical experiments are carried out to verify the theoretical analysis. To the best of our knowledge, this is the first proof for the stability of the third-order scheme for the Caputo-Fabrizio fractional operator.

研究动机与目标

• 为二维时间Caputo-Fabrizio分数阶扩散方程开发高阶、无条件稳定的数值格式。
• 在保持稳定性的前提下，将现有二阶格式扩展至时间方向的三阶精度。
• 首次为Caputo-Fabrizio分数阶微分算子的时间三阶离散化提供严格的稳定性证明。
• 通过数值实验验证理论收敛速率。

提出的方法

• 在时间方向应用三阶有限差分法，以实现时间上的高阶精度。
• 在空间方向采用谱方法，以利用光滑解的高精度，其收敛速率取决于解的正则性。
• 空间离散化采用谱配置方法，通常基于勒让德或切比雪夫多项式。
• 通过能量法或矩阵分析，证明了全离散格式的无条件稳定性。
• 理论上推导出全局截断误差为$\mathcal{O}(τ^3 + N^{-m})$，其中$τ$为时间步长，$N$为多项式阶数，$m$为解的正则性。
• 通过数值实验实现并测试该方法，以确认理论收敛阶。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为二维Caputo-Fabrizio分数阶扩散方程构建并证明三阶时间离散化的稳定性？
• RQ2 此类高阶格式在时间和空间上的全局收敛速率是多少？
• RQ3 谱空间离散化如何影响整体精度与稳定性？
• RQ4 在不同时间步长和多项式阶数下，所提格式是否保持稳定性？
• RQ5 能否通过基准问题的数值实验验证理论误差界？

主要发现

• 所提格式实现了全局截断误差$\mathcal{O}(τ^3 + N^{-m})$，在时间方向呈现三阶精度，在空间方向呈现谱精度。
• 该格式被证明为无条件稳定，相较于以往仅限于二阶格式的研究，这是显著的进展。
• 首次建立了Caputo-Fabrizio分数阶微分算子时间三阶离散化的严格稳定性证明。
• 数值实验验证了时间与空间变量的理论收敛速率。
• 该方法在各种参数设置下均保持稳定性，且在精度上优于低阶格式。
• 结果验证了在时间方向采用高阶有限差分、在空间方向采用谱方法联合求解分数阶扩散问题的有效性。