[论文解读] Finite dimensional representations of symplectic reflection algebras associated to wreath products II

Silvia Montarani|ArXiv.org|Jan 11, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用 4

一句话总结

该论文构建了与半直积形式 $S_N \ltimes \Gamma^N$ 相关的辛反射代数的有限维不可约表示，其中 $\Gamma \subset SL(2,\mathbb{C})$ 是 $SL(2,\mathbb{C})$ 中的有限子群。通过从抛物子代数诱导表示并分析迹条件，证明了此类表示可在参数空间 $C(\mathcal{S})$ 的余维数为 $r$ 的线性子空间上唯一变形，该子空间对应于秩一代数 $H_{1,c}(\Gamma)$ 的 $r$ 个非同构不可约模。

ABSTRACT

This note extends some results of a previous paper (math.RT/0403250) about finite dimensional representations of the wreath product symplectic reflection algebra H(k,c,N,G) of rank N attached to a finite subgroup G of SL(2,C) (here k is a number and c a class function on the set of nontrivial elements of G). Specifically, let N'=(N_1,...,N_r) be a partition of N. Consider W=W_1\otimes >...\otimes W_r an irreducible representation of S_N'=S_{N_1} imes ... imes S_{N_r}\subset S_N s.t. W_i has rectangular Young diagram for any i and let {Y_i}, i=1,...,r be a collection of irreducible non isomorphic representation of the rank 1 algebra B=H(c_0,1,G) s.t. Ext^1_B(Y_i, Y_j)=0 for any i eq j. Consider the module M'=W\otimes Y, where Y=Y_1^{N_1}\otimes ...\otimes Y_r^{N_r}, over the subalgebra S_N'#B^N \subset S_N#B^N= H(0,c_0,N,G) and form the induced module M over H(0,c_0,N,G). We show that M can be uniquely deformed along a linear subspace of codimension r in the space of the parameters (k,c) passing through c_0. This result implies the main result of math.RT/0403250 as a particular case, the case of the trivial partition N'=(N).

研究动机与目标

• 扩展关于与半直积 $S_N \ltimes \Gamma^N$ 相关的辛反射代数的有限维表示的先前结果。
• 表征抛物子代数诱导表示可唯一变形的参数空间 $C(\mathcal{S})$。
• 建立 $H_{1,k,c}(\mathbf{\Gamma}_N)$ 的不可约表示可从秩一基本模块 $H_{1,c}(\Gamma)$ 提升的条件。
• 确定 $C(\mathcal{S})$ 中此类变形存在的精确线性子空间，使用同调与迹相关技术。

提出的方法

• 从 $S_{\vec{N}}$ 的不可约表示 $W$ 与秩一代数 $B = H_{1,c}(\Gamma)$ 的张量积 $Y = \bigotimes_{i=1}^r Y_i^{\otimes N_i}$ 构造诱导模 $M = \mathrm{Ind}_{S_{\vec{N}} \sharp B^{\otimes N}}^{S_N \sharp B^{\otimes N}} (W \otimes Y)$。
• 通过将 $M$ 分解为同型分量，计算由 $H_{1,k,c}(\mathbf{\Gamma}_N)$ 的定义关系导出的算子的迹。
• 对关系 $[x_1, y_1] = 1 + \frac{k}{2} \sum_{j \neq 1} \sum_{\gamma \in \Gamma} s_{1j} \gamma_1 \gamma_j^{-1} + \sum_{\gamma \in \Gamma \setminus \{1\}} c_\gamma \gamma_1$ 应用迹条件，推导出对参数的线性约束。
• 利用特征标理论与杨图内容计算 $\mathrm{Tr}_{W_1}(s_{1j})$ 与 $\mathrm{Tr}_{Y_1^{\otimes N_1}}(s_{1j} \gamma_1 \gamma_j^{-1})$，从而得到显式的迹公式。
• 导出关于参数 $k$ 与 $c_\gamma$ 的 $r$ 个独立线性方程，每个对应一个超平面 $\mathcal{H}_{Y_i, m_i, l_i}$，并证明变形空间是这些超平面交集的正式邻域。
• 利用非同构 $B$-模的维数向量线性无关的性质，确保这 $r$ 个条件彼此独立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在参数 $k$ 与 $c$ 满足何种条件时，$H_{1,k,c}(\mathbf{\Gamma}_N)$ 的诱导表示 $M$ 具有唯一变形？
• RQ2 $W_i$ 的杨图结构如何影响迹计算及由此产生的变形条件？
• RQ3 $C(\mathcal{S})$ 中有限维不可约表示存在的子空间的精确余维数是多少？
• RQ4 $Y_i$ 的 $\mathrm{Ext}$-消去与非同构条件如何确保所导出的线性约束彼此独立？
• RQ5 能否将 $M$ 的变形空间描述为由 $r$ 个超平面定义的线性子空间的正式邻域，每个超平面对应一个不同的不可约 $B$-模？

主要发现

• 诱导模 $M = \mathrm{Ind}_{S_{\vec{N}} \sharp B^{\otimes N}}^{S_N \sharp B^{\otimes N}} (W \otimes Y)$ 在 $C(\mathcal{S})$ 的余维数为 $r$ 的线性子空间上具有唯一变形。
• 对每个 $i = 1, \dots, r$，变形条件导出一个由方程 $\mathrm{dim}\,Y_i + \frac{k}{2}|\Gamma|(m_i - l_i) + \sum_{\gamma \in \Gamma \setminus \{1\}} c_\gamma \chi_{Y_i}(\gamma) = 0$ 定义的超平面 $\mathcal{H}_{Y_i, m_i, l_i}$，其中 $m_i$ 与 $l_i$ 分别为 $W_i$ 的矩形杨图的维度。
• $r$ 个超平面彼此独立，因此其交集的余维数为 $r$，变形空间即为该交集在原点处的正式邻域。
• 参数 $k$ 与 $Y_i$ 的结构（特别是其维数向量与特征标）直接决定了变形轨迹。
• 证明依赖于使用 $S_{N_i}$ 在 $W_i$ 上的特征标与对换的迹计算，后者取决于 $W_i$ 的矩形杨图的内容。
• 结果确认变形空间同构于交集 $\bigcap_{i=1}^r \mathcal{H}_{Y_i, m_i, l_i}$ 的正式邻域，其中子空间 $S$ 为 $\bigcap_{i=1}^r \mathcal{H}_{Y_i, m_i, l_i} - (0, c_0)$ 的正式邻域。