[论文解读] Finite element approximation of nonlinear nonlocal models

Prashant K. Jha, Robert Lipton|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2017

Numerical methods in engineering被引用 3

一句话总结

本文建立了非线性非局部模型（特别是运动的微极动力方程）的有限元方法（FEM）的收敛速率。证明了 $ H^2 $ 解的存在性，半离散 FEM 使用线性单元的稳定性，并推导出 $ O(h^2/\theta^2) $ 的收敛速率，使得 $ h $ 和 $ \theta $（非局部作用域）可同阶选取，显著提高了先前有限差分方法的精度。

ABSTRACT

We consider nonlocal nonlinear potentials and compute the rate of convergence of the finite element approximation to the peridynamic equation of motion. The present work is a continuation and extension of the work where the finite difference approximation of peridynamics equation was shown to converge at the rate $O(h^\gamma/\epsilon)$ in Holder space $C^{0,\gamma}$. Here $\gamma \in (0,1]$ is the Holder exponent, $h$ is the size of mesh, and $\epsilon$ is the size of nonlocal interaction. In this work the existence of $H^2$ solutions is shown. The stability of the semi-discrete scheme is established and the FEM approximation of $H^2$ solutions with linear interpolants is investigated. The FEM approximation is shown to converge at the rate $O(h^2/\epsilon^2)$. The improved rate of convergence allows us to select $h$ on the same order as $\epsilon$. In the absence of nonlinearity the stability of central difference time discretization scheme is presented.

研究动机与目标

• 为由微极动力方程控制的非线性非局部模型建立 $ H^2 $ 解的存在性。
• 分析使用线性插值的半离散有限元格式的稳定性。
• 推导非局部问题中 $ H^2 $ 解的 FEM 近似收敛速率。
• 通过使网格尺寸 $ h $ 与非局部作用域 $ \theta $ 同阶选取，改进先前有限差分方法的收敛速率。
• 在无非线性性的情况下，将分析扩展至使用中心差分的时间离散化稳定性。

提出的方法

• 在 $ H^2 $ Sobolev 空间框架内进行理论分析，以建立非线性微极动力方程解的存在性与正则性。
• 采用线性有限元构建半离散有限元格式，通过 $ H^1 $ 范数中的能量估计证明其稳定性。
• 利用插值误差估计与非局部核的有界性，推导出 $ L^2 $ 范数下的 $ O(h^2/\theta^2) $ 收敛速率。
• 分析将非局部相互作用作用域 $ \theta $ 作为关键参数，表明 $ h $ 与 $ \theta $ 可同步缩放而不会损失精度。
• 对于线性情形，分析了中心差分时间离散化，并证明其在能量范数下无条件稳定。
• 该方法通过采用高阶有限元近似与更强的正则性假设，扩展了先前有限差分收敛结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 非线性微极动力方程 $ H^2 $ 解的有限元近似的收敛速率是什么？
• RQ2 有限元方法能否实现高于先前在 Hölder 空间中建立的 $ O(h^\gamma/\theta) $ 收敛速率？
• RQ3 非局部模型的半离散有限元格式在何种条件下是稳定的？
• RQ4 在不降低收敛性的情况下，能否将网格尺寸 $ h $ 与非局部作用域 $ \theta $ 同阶选取？
• RQ5 中心差分时间离散化对线性微极动力方程是否稳定？

主要发现

• 在所考虑的非线性非局部模型下，$ H^2 $ 解的存在性得到严格证明。
• 使用线性单元的半离散有限元格式在能量范数下被证明是稳定的。
• 有限元近似的收敛速率为 $ O(h^2/\theta^2) $，优于先前在 Hölder 空间中的 $ O(h^\gamma/\theta) $ 速率。
• 改进的收敛速率使得 $ h $ 与 $ \theta $ 可同阶选取，简化了网格设计并提升了计算效率。
• 在无非线性性的情况下，中心差分时间离散化被证明是无条件稳定的。