[论文解读] Finite element approximation of the Isaacs equation

Abner J. Salgado, Wujun Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 13被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种用于 Isaacs 方程（一种完全非线性椭圆PDE）的两尺度有限元方法，通过将尺度为 $h$ 的有限元离散化与尺度为 $\varepsilon$ 的基于积分求积的积分微分近似相结合。该方法在弱锐角网格上满足离散最大值原理，并在 $C^{2,s}$ 正则性条件下，以 $\mathcal{O}(\varepsilon^s + h/\varepsilon^2 |\log h|)$ 的收敛速率收敛到粘性解，通过一种新颖的两尺度FEM框架，首次为非凸完全非线性PDE建立了收敛性与收敛速率。

ABSTRACT

We propose and analyze a two-scale finite element method for the Isaacs equation. The fine scale is given by the mesh size $h$ whereas the coarse scale $\varepsilon$ is dictated by an integro-differential approximation of the partial differential equation. We show that the method satisfies the discrete maximum principle provided that the mesh is weakly acute. This, in conjunction with weak operator consistency of the finite element method, allows us to establish convergence of the numerical solution to the viscosity solution as $\varepsilon, h o0$, and $\varepsilon \gtrsim h^{1/2}|\log h|$. In addition, using a discrete Alexandrov Bakelman Pucci estimate we deduce rates of convergence, under suitable smoothness assumptions on the exact solution.

研究动机与目标

• 为完全非线性椭圆PDE（特别是由于粘性解框架导致经典变分方法失效的 Isaacs 方程）开发一种收敛的有限元方法。
• 通过引入结合基于网格的FEM与非局部积分微分近似的两尺度方法，弥补完全非线性PDE缺乏稳健有限元方法的不足。
• 通过利用离散最大值原理与弱算子一致性，建立该方法的收敛性及其收敛速率。
• 通过 Isaacs 方程作为模型问题，将现有凸/凹方程的收敛结果扩展至非凸/非凹情形。
• 提供一种实用的、基于积分求积的实现方式，保持收敛速率的同时实现高效计算。

提出的方法

• 该方法采用两尺度分解：细尺度FEM（网格尺寸为 $h$）与粗尺度近似（通过尺度 $\varepsilon$ 的积分微分算子实现），后者源自 Caffarelli 和 Silvestre 对Hessian项的近似。
• Isaacs算子被重写为拉普拉斯算子与包含中心二阶差分算子 $\mathfrak{d}u(x,y) = u(x+y) - 2u(x) + u(x-y)$ 的非局部项之和。
• 通过在紧支集、径向对称核 $\varphi$ 上使用积分求积公式，对非局部项进行近似，得到一个在二次多项式上精确的离散算子 $I_{\varepsilon,h}[w](x)$。
• 离散格式表述为 $\bar{\mathfrak{L}}_h^\varepsilon[\tilde{v}_h^\varepsilon](z) = \frac{\lambda}{2}\Delta_h \tilde{v}_h^\varepsilon(z) + I_{\varepsilon,h}[\tilde{v}_h^\varepsilon](z) = f_z$，对所有节点 $z \in \mathscr{N}_h$ 成立，确保一致性和单调性。
• 当网格为弱锐角时，该方法满足离散最大值原理，这对通过粘性解理论实现收敛至关重要。
• 实现高效：通过预计算权重 $\omega_j \varphi(\xi_j)$ 并仅在 $z + \varepsilon M(z)\xi_j$ 的支撑区域内评估基函数，实现系统矩阵的高效组装。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种两尺度有限元方法，仅使用标准FEM工具，使该方法收敛到非凸完全非线性PDE（即Isaacs方程）的粘性解？
• RQ2 所提出的方法是否在弱锐角网格上保持离散最大值原理，从而通过粘性解理论实现收敛？
• RQ3 当精确解属于 $C^{2,s}(\bar{\Omega})$ 时，该方法的收敛速率是多少？
• RQ4 非局部算子中的积分求积误差如何影响整个格式的收敛速率？
• RQ5 该方法能否实现高效组装，同时保持收敛性与速率估计？

主要发现

• 该方法在弱锐角网格上满足离散最大值原理，这对于确保收敛到粘性解至关重要。
• 当 $h, \varepsilon \to 0$ 且满足 $\varepsilon \gtrsim h^{1/2} |\log h|$ 时，该方法被证明收敛到粘性解，确保了稳定性和一致性。
• 在精确解具有 $C^{2,s}$ 正则性条件下，该方法在 $L^\infty$ 范数下达到 $\mathcal{O}(\varepsilon^s + h/\varepsilon^2 |\log h|)$ 的收敛速率。
• 由于在 $x + B_\varepsilon$ 上的局部二次逼近，非局部算子中的积分求积误差被控制在 $\mathcal{O}(\varepsilon^s)$ 以内，适用于 $C^{2,s}$ 函数。
• 通过使用离散的Alexandrov-Bakelman-Pucci估计推导收敛速率，将最大值原理与误差控制相联系。
• 实现具有计算可行性：仅需在 $z + \varepsilon M(z)\xi_j$ 处局部评估基函数，且权重可预先计算，从而实现高效的矩阵组装。