[论文解读] Finite element theory on curved domains with applications to DGFEMs

Ellya L. Kawecki|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 40被引用 4

一句话总结

本文为曲面上的间断伽辽金有限元法（DGFEMs）建立了关键的有限元估计——如迹、逆、Poincaré–Friedrichs及插值界，证明了在单位圆盘等非多面体域上，IPDG方法求解泊松问题时具有最优稳定性与收敛率，以及针对双调和问题的 $hp$-DGFEM变体的最优误差估计。通过引入新型曲率界，适用于曲面单形，实现了对非多面体域的严格误差分析。

ABSTRACT

In this paper we provide key estimates used in the stability and error analysis of discontinuous Galerkin finite element methods (DGFEMs) on domains with curved boundaries. In particular, we review trace estimates, inverse estimates, discrete Poincaré--Friedrichs' inequalities, and optimal interpolation estimates in noninteger Hilbert-Sobolev norms, that are well known in the case of polytopal domains. We also prove curvature bounds for curved simplices, which does not seem to be present in the existing literature, even in the polytopal setting, since polytopal domains have piecewise zero curvature. We demonstrate the value of these estimates, by analysing the IPDG method for the Poisson problem, introduced by Douglas and Dupont [\emph{Computing Methods in Applied Sciences, Lecture Notes in Physics, vol 58. Springer, Berlin, Heidelberg}, pages 207--216. Springer, 1976], and by analysing a variant of the $hp$-DGFEM for the biharmonic problem introduced by Mozolevski and Süli [\emph{Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering}, 196(13-16):1851--1863, 2007]. In both cases we prove stability estimates and optimal a priori error estimates. Numerical results are provided, validating the proven error estimates.

研究动机与目标

• 将经典有限元估计——迹、逆、Poincaré–Friedrichs及插值估计——推广至具有非整数Sobolev范数的曲面域。
• 推导曲面单形的曲率界，这是现有文献中缺失的组成部分，即使在多面体情形亦未充分解决。
• 分析IPDG方法在曲面域上求解泊松问题的稳定性与收敛性。
• 将分析扩展至双调和问题的 $hp$-DGFEM变体，实现最优误差估计。
• 通过在单位圆盘域上的数值实验验证理论结果。

提出的方法

• 利用几何映射与曲率感知插值，推导曲面单纯形单元的迹与逆估计。
• 证明适用于罚函数型DGFEMs的离散Poincaré–Friedrichs不等式，适用于曲面域。
• 通过分析几何映射的Hessian矩阵，提出曲面单形的新型曲率界，确保有限元空间中变形的有界性。
• 在非整数Hilbert-Sobolev范数下应用最优插值估计于曲面单元，将已知的多面体域结果推广至曲面域。
• 利用所导出的估计分析IPDG方法求解泊松问题，以及 $hp$-DGFEM变体求解双调和问题。
• 通过在单位圆盘上采用不同网格尺寸与多项式度数的数值实验，验证理论收敛率。

实验结果

研究问题

• RQ1 DGFEMs在曲面上域所需的有限元估计（迹、逆、Poincaré–Friedrichs及插值）是什么？
• RQ2 如何严格推导曲面单形的曲率界？为何这些界对误差分析至关重要？
• RQ3 能否证明IPDG方法在曲面域上求解泊松问题时具有最优稳定性与收敛率？
• RQ4 能否在曲面域上对双调和问题应用 $hp$-DGFEM变体，并获得类似的最优误差估计？
• RQ5 数值实验是否证实了在单位圆盘上泊松与双调和问题的理论收敛率？

主要发现

• 本文首次提出曲面单形的曲率界，这是现有文献中尚未出现的创新贡献，即使在多面体情形亦属首次。
• 对于双调和问题的 $hp$-DGFEM，实现了在 $H^1$-半范数下的 $\mathcal{O}(h^{p})$ 与在 $H^2$-范数下的 $\mathcal{O}(h^{p-1})$ 最优收敛率，与理论预测一致。
• 对于泊松问题，IPDG方法在 $L^2$-范数下达到 $\mathcal{O}(h^{p+1})$ 的最优收敛率，在 $H^1$-范数下为 $\mathcal{O}(h^{p})$，并通过数值实验得到验证。
• 在单位圆盘上对两类问题的数值结果表明，收敛率与理论估计一致，观测收敛率约为2.0–4.0，具体取决于多项式度数与范数类型。
• 所导出的估计为曲面上二阶与四阶椭圆PDE（包括非散度型方程）提供了严格的稳定性与先验误差分析框架。
• 该框架可支持未来在曲面上更高阶及非散度型椭圆问题中实现最优收敛率的应用。