[论文解读] Finite Morse index solutions and asymptotics of weighted nonlinear elliptic equations

Yihong Du, Zongming Guo|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems被引用 22

一句话总结

本文通过将加权非线性椭圆方程转化为带有 Hardy 位势的非线性 Schrödinger 方程，建立了一个分析有限 Morse 指数解的框架。它识别出两个临界指数 $p$，将解的定性行为划分为不同区域，揭示了难以直接从变换后方程获得的稳定性与渐近性质。

ABSTRACT

By introducing a suitable setting, we study the behavior of finite Morse index solutions of the equation \[ -\{div} (|x|^θ abla v)=|x|^l |v|^{p-1}v \;\;\; \{in $Ω\subset \R^N \; (N \geq 2)$}, \leqno(1) \] where $p>1$, $θ, l\in\R^1$ with $N+θ>2$, $l-θ>-2$, and $Ω$ is a bounded or unbounded domain. Through a suitable transformation of the form $v(x)=|x|^σu(x)$, equation (1) can be rewritten as a nonlinear Schrödinger equation with Hardy potential $$-Δu=|x|^α|u|^{p-1}u+\frac{\ell}{|x|^2} u \;\; \{in $Ω\subset \R^N \;\; (N \geq 2)$}, \leqno{(2)}$$ where $p>1$, $α\in (-\infty, \infty)$ and $\ell \in (-\infty,(N-2)^2/4)$. We show that under our chosen setting for the finite Morse index theory of (1), the stability of a solution to (1) is unchanged under various natural transformations. This enables us to reveal two critical values of the exponent $p$ in (1) that divide the behavior of finite Morse index solutions of (1), which in turn yields two critical powers for (2) through the transformation. The latter appear difficult to obtain by working directly with (2).

研究动机与目标

• 为具有奇点或退化系数的加权椭圆方程发展一致的有限 Morse 指数理论。
• 分析在穿孔区域、外部区域及全空间中解的渐近行为与稳定性。
• 识别出区分不同解行为（尤其是奇点可去性与稳定性）的指数 $p$ 的临界值。
• 证明将方程转化为带有 Hardy 位势的 Schrödinger 方程可保持解的稳定性，从而更清晰地识别临界幂次。
• 解决先前工作中因参数依赖复杂，难以直接从 Schrödinger 形式推导临界指数的局限性。

提出的方法

• 引入变换 $v(x) = |x|^\sigma u(x)$，将加权方程转化为带有 Hardy 位势的非线性 Schrödinger 方程。
• 在保持自然变换下稳定性的一致性设置中定义有限 Morse 指数，确保在等价表述间保持一致性。
• 使用 Kelvin 变换将外部区域中的解与穿孔球体中的解联系起来，实现基于对称性的分析。
• 应用比较法与测试函数技术，结合精心选择的截断函数，推导积分估计与不可去奇点的矛盾。
• 分析与角向算子谱隙相关的函数 $f_\tau(p)$，以确定稳定性阈值。
• 建立临界指数 $\tilde{p}_c(N', \tau)$ 与 $p_c(N, 0)$，用以划分稳定、不稳定与奇异解的区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 $p$ 的临界值决定了加权椭圆方程有限 Morse 指数解的稳定性和渐近行为？
• RQ2 将方程转化为带有 Hardy 位势的 Schrödinger 方程如何影响解的 Morse 指数与稳定性？
• RQ3 在何种条件下，原点处的孤立奇点对有限 Morse 指数解是可去的？
• RQ4 为何 Schrödinger 方程形式的临界指数难以直接推导？原始加权形式如何简化这一过程？
• RQ5 Kelvin 变换在将有界穿孔区域的结果推广至外部区域中起到什么作用？

主要发现

• 两个临界指数出现：$\tilde{p}_c(N', \tau)$ 与 $p_c(N, 0)$，它们将加权方程中有限 Morse 指数解的行为划分为不同区域。
• 当 $p$ 满足 $\tilde{p}_c(N', \tau) < p < \min\left\{\frac{N'+2+2\tau}{N'-2}, p_c(N, 0)\right\}$ 时，有限 Morse 指数解在原点处的奇点是可去的。
• 当 $p \in \left(\frac{N'+\tau}{N'-2}, \tilde{p}_c(N', \tau)\right]$ 时，存在一个具有原点孤立奇点的稳定正解。
• 变换 $v(x) = |x|^\sigma u(x)$ 保持了解的稳定性，使得原本在 Schrödinger 形式中被掩盖的临界幂次得以识别。
• 与谱隙相关的函数 $f_\tau(p)$ 决定稳定性：若 $f_\tau(p) \leq \frac{(N'-2)^2}{4}$，则解稳定。
• 通过使用测试函数与 $r$ 的对数增长的矛盾论证，证实具有不可去奇点的解会导致积分发散，从而否定其有限 Morse 指数。