[论文解读] Finite $p$-groups of birational automorphisms and characterizations of rational varieties

Jinsong Xu|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文通过双有理自同构群中的有限 $p$-群，建立了一类有理连通簇的有理性准则：若在特征零代数闭域上，$n$-维有理连通簇的双有理自同构群中包含一个同构于 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$ 的子群，且当素数 $p > R(n)$ 足够大时，则该簇是有理的。证明使用了 $G$-等变极小模型程序（MMP）、Fano 岛的有界性以及对维数的归纳法，表明此类 $p$-群通过环面作用与有理纤维化迫使有理性。

ABSTRACT

We study finite $p$-subgroups of birational automorphism groups. By virtue of boundedness theorem of Fano varieties, we prove that there exists a constant $R(n)$ such that a rationally connected variety of dimension $n$ over an algebraically closed field is rational if its birational automorphism group contains a $p$-subgroups of maximal rank for $p > R(n)$. Some related applications on Jordan property are discussed.

研究动机与目标

• 根据双有理自同构群中存在大初等阿贝尔 $p$-群的条件，确定有理连通簇成为有理簇的条件。
• 推广 Cantat 对有理簇的双有理自同构群刻画，将幂零向量群作用替换为有限 $p$-群作用。
• 研究 $\mathrm{Bir}(X)$ 中是否存在大 $p$-子群是否意味着 $X$ 双有理等价于具有环面或阿从簇作用的簇。
• 通过将 Jordan 性质结果与有理性和几何结构联系起来，强化 Cremona 群的 Jordan 性质。
• 通过非平凡半阿从簇的作用，对非 Jordan 双有理自同构群提供一个猜想性刻画。

提出的方法

• 对具有有限 $p$-群 $G \cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$ 的忠实作用的射影、非奇异有理连通簇 $X$，应用 $G$-等变极小模型程序（MMP）。
• 利用 Fano 岛的有界性定理（BABB）证明：当 $p$ 足够大时，此类 $p$-群包含于自同构群的最大环面中，从而蕴含环面结构与有理性。
• 通过 $G$-Mori 纤维空间 $f: Y \to Z$ 分解 $p$-群作用，得到作用于一般纤维与基的正合列 $1 \to G' \to G \to G'' \to 1$。
• 使用归纳法：假设当 $p > R(\dim Z)$ 和 $p > R(\dim Y_\eta)$ 时，基 $Z$ 与一般纤维 $Y_\eta$ 为有理的。
• 利用定理 1.1（Prokhorov–Shramov）界定 $\mathrm{Bir}(X)$ 中 $p$-子群的秩，确保大 $p$ 时达到最大秩。
• 利用 $k$ 包含所有单位根的事实，将 $\mathrm{PGL}(n+1,k)$ 嵌入 $\mathrm{Cr}_n(k)$，从而构造出秩为 $n$ 的 $p$-子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\mathrm{Bir}(X)$ 中存在一个秩为 $n$ 的大初等阿贝尔 $p$-群时，何种条件下可推出 $n$-维有理连通簇 $X$ 是有理的？
• RQ2 当大 $p$ 时，$\mathrm{Bir}(X)$ 中存在最大秩的 $p$-子群，是否能强制 $X$ 双有理等价于具有环面或阿从簇作用的簇？
• RQ3 一个簇的双有理自同构群是否仅当该簇是有理的时才包含同构于 $\mathrm{Cr}_n(k)$ 的子群？
• RQ4 精确的阈值 $R(n)$ 是什么？使得任意 $n$-维有理连通簇，若其双有理自同构群中存在 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$-作用，则当 $p > R(n)$ 时该簇是有理的？
• RQ5 非 Jordan 双有理自同构群是否能通过非平凡半阿从簇的忠实作用来刻画？

主要发现

• 存在仅依赖于 $n$ 的常数 $R(n)$，使得若在特征零代数闭域上，$n$-维有理连通簇 $X$ 的双有理自同构群 $\mathrm{Bir}(X)$ 中存在子群 $G \cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$，且 $p > R(n)$，则 $X$ 是有理的。
• 证明依赖于运行 $G$-MMP 并利用 Fano 岛的有界性，表明 $G$ 位于一个最大环面中，从而蕴含环面结构，故为有理的。
• 对三倍簇而言，$\mathrm{Bir}(X)$ 不是 Jordan 的充分必要条件是：$X$ 双有理等价于 $\mathbb{P}^1 \times (E \times^G F)$（其中 $E$ 为椭圆曲线），或双有理等价于 $\mathbb{P}^1 \times A$（其中 $A$ 为阿从曲面）。
• $\mathrm{Bir}(X)$ 中存在同构于完整 Cremona 群 $\mathrm{Cr}_n(k)$ 的子群，意味着 $X$ 是 $k$-有理的，这推广了 Cantat 的一个结果。
• 在 $G$-Mori 纤维空间中，基与一般纤维的有理性由归纳法保证，且大 $p$ 时 $p$-群秩的最大性确保整体空间为有理的。
• 本文在特殊情形下正面回答了 Prokhorov 与 Shramov 的一个问题，并通过非平凡半阿从簇作用，对非 Jordan 双有理自同构群提供了猜想性刻画。